与圆有关的定理越多越好 初中书上有的不要
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发布时间：2022-06-17 02:17
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时间：2023-11-12 01:09
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时间：2023-11-12 01:10
概念相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明 几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
概述 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：
切割线定理
割线定理
编辑本段如何证明 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.） ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
编辑本段证明 切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
切割线定理的证明
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
定义
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD。如下图所示。(LT是切线）
编辑本段英文名称 Secant Theorem编辑本段相关及证明概述 割线定理为圆幂定理之一，其他两条定理为：
切割线定理 相交弦定理证明 如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
圆周角定理
定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
编辑本段证明 已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
编辑本段圆周角推论特殊圆周角 1: 半圆(弧)和直径所对圆周角是90°.
90°圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)
等弧所对圆周角相等 圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
命题1: 在圆中作弦MN,于直线MN同侧取点A、B、C,使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与
点M、N连结,则有∠A>∠B>∠C
(图略,证明:三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.
顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.
(图略,证明略)
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