试证明质数有无穷个
发布网友
发布时间：2022-07-02 02:02
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-23 07:33
的另一个证明欣赏一条数学定理及其巧妙证明所带来的精神上的审美快感可以和任何食色活动带来的快感相提并论,，至少在其持续的时间上可以这么说，如果不是在强度上的话。下面给出"有无穷多个质数"
的另一个证明。
定理
有无穷多个质数
证明：我们只需证明对任意一个给定的质数
N，总存在一个比它更大的质数。现在考察
N!
+
1
=
1
x
2
X
...
X
N
+
1。它或者是一个质数，或者不是。如果它是质数，那么我们已经找到一个比
N
大的质数，因为
N!
+
1
>
N。如果它不是质数，那么它一定可以被某个质数整除，设之为
Q。Q
不可能是从
1
到
N
的任何一个数，因为否则的话
(N!
+
1
)/Q
余数为
1
。因此
Q
是一个大于
N
的质数。因此，无论
N!
+
1
怎样，我们都将得到一个大于
N
的质数。所以对任意一个给定的质数
N，总存在一个比它更大的质数，也就是说不存在最大的质数，即有无穷多个质数。命题得证。
注意上面证明中用到了如下命题：如果正整数
M
>1
不是质数，那么它一定能够被某个质数
P
整除，1
热心网友
时间：2023-10-23 07:33
考虑这个数：2*3*...*P+1
是什么数？
由于它不能被2，3，...，P的任一个整除（因为余1），所以只能是：
1.质数，与假设矛盾
2.合数，且有异于2，3，...，P的素因子，设为M，这样我们找到了不同于2，3，...，P的质数，与假设矛盾
总之，质数的个数是无穷的.
