北京高一数学竞赛
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发布时间：2022-09-21 02:50
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时间：2024-11-16 12:54
高一年级初赛试题
一、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中，偶函数的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 恰有3个实数解，则a等于
A. 0 B. 0.5 C. 1 D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0 B. f(a)+f(b)+f(c)<0
C. f(a)+f(b)+f(c)>0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是
A. a、b B. b、c C. c、d D. d、a
6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a1，a3，a5成等差数列
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列
D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列
二、填空题（满分64分）
1. 已知 ，试确定 的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知 ，若ab2≠1，且有 ，试确定 的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？
5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。
初赛答案表
选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1
3、－1 4、10 5、[ ， ]
6、49/4 7、1/16 8、62
2001年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题
一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1项指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）
1．集合｛0,1，2,2001｝的子集的个数是
（A）16 （B）15 （C）8 （D）7
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱C1D1上一点，N为棱AB上一点，且∠MAB＝∠B1NB＝60°，则不正确的结论是
（A）AM与CC1是异面直线。 （B）AM与NB1是异面直线。
（C）AN与MB1是异面直线。 （D）AN与MC1是异面直线。
3．函数y＝-√(1-x) (x≤1)的反函数是（A）y=x2-1 (-1≤x≤0). (B)y=1-x2 (x≤0) (C)y=x2-1(0≤x≤1) (D)y=1-x2(0≤x≤1)
4．一条直线与不等边ΔABC的边AB，AC分别交于D、E，若直线DE既平分ΔABC的周长，又平分ΔABC的面积，则直线DE必过ΔABC的
（A）重心 （B）外心 （C）内心 （D）垂心
5．已知f（x6）=log2x，那么f（8）等于
（A）4/3 （B）8 （C）18 （D）1/2
6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直。
以上四个命题中正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）③④ （D）②④
二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）
1．正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，N为棱AD的中点，异面直线MN与CD所成的角为α，AC与MN所成的角为β，求α＋β的度数。
2．若实数X，Y，Z满足√X＋√(Y－1)＋√(Z－2)＝1/2（X＋Y＋Z），求logz（X＋Y）的值。
3．设对任意实数X都有f (x)=x2+lg(x+√(x2+1))，且f (a)=m，求f (-a)，用a，m表示。
4．设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+2)=-1/f (x)，当2≤X≤3时，f (x)=x，确定f (5.5)的值。
5．四面体ABCD中，棱CD垂直于平面ABC，AB＝BC＝CA＝6，BD＝3√7，设二面角D－AC－B记为α，二面角D－AB－C记为β，二面角B－DC－A记为r，求sinα＋tgβ+cosr的值。
6．分别用max{x1,x2,x3,…,xn}、min{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn的最大值与最小值。
若a+b+c=1，（a,b,c∈R），确定min{max{a+b,b+c,c+a}}的值。
7．设3x=0.03y=10-2，求(1/x-1/y)2001的值。
8．若关于x的方程sin2x+sinx+a=0有实数解，求实数a的最大值与最小值的和。
一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）
1．已知f (x+y)=f (x)•f (y)对任意的非负实数X，Y都成立，且f (1)=3，则f (1)/f (0)+f(2)/f(1)+f (3)/f (2)+f (4)/f (3)+…+f (2000)/f (1999)+f (2001)/f (2000)=（ ）
2．在右图中，AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，四边形ABCD的面积是22，正方形CDEF的面积是25，则线段AE＝（ ）。
3.设a=√(1+1/12+1/22)+√(1+1/22+1/32)+√(1+1/32+1/42)+…+√(1+1/20002+1/20012)，则与a最接近的整数是（ ）
4．两个不同的二次三项式f (x)与g (x)，它们的首项系数都是1，并且满足f (1)+f (10)+f (100)=g (1)+g (10)+g (100)。则方程f (x)＝g (x)的解x＝（ ）。
5．在四面体ABCD中，二面角B－AC－D是直二面角，AB＝BC＝CD，BD＝AC，二面角B－AD－C记为α，则cosα=（ ）。
二、（满分15分）整系数多项式f (x)满足f (1999)•f (2000)=2001，请你证明f (x)=0没有整数根。
三、（满分15分）已知二次函数f (x)满足f (-1)=0，并且对一切实数x，恒有x≤f (x)≤1/2(x2+1)试确定f (x)的表达式，并计算f (2001)的值。
四、（满分15）在四面体ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝5，∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，直线AB和CD所成的角等于60°，求棱AD的长。
五、（满分15分）在集合M＝｛2,3，4,5，6,7，8,9，10,11，…,958,959,960｝中任意取出11个两两互质的自然数，证明：其中至少有一个是质数。
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高一年级初赛试题
一、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中，偶函数的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 恰有3个实数解，则a等于
A. 0 B. 0.5 C. 1 D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0 B. f(a)+f(b)+f(c)<0
C. f(a)+f(b)+f(c)>0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是
A. a、b B. b、c C. c、d D. d、a
6. 正实数列a1，a2，a3，a4，a5中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，且公比不等于1，又a3，a4，a5的倒数成等比数列，则
A. a1，a3，a5成等比数列
B. a1，a3，a5成等差数列
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列
D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列
二、填空题（满分64分）
1. 已知 ，试确定 的值。
2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。
3. 已知 ，若ab2≠1，且有 ，试确定 的值。
4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？
5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。
6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。
7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。
8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。
初赛答案表
选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1
3、－1 4、10 5、[ ， ]
6、49/4 7、1/16 8、62
参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/4618284.html
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一、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是
A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5
C. f(x)=x2+x D. －x2+2004
2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、 、 中，偶函数的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 恰有3个实数解，则a等于
A. 0 B. 0.5 C. 1 D.
4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1<x2，就有f(x1)>f(x2)，则
A. 2f(a)+f(b)+f(c)=0 B. f(a)+f(b)+f(c)<0
C. f(a)+f(b)+f(c)>0 D. f(a)+2f(b)+f(c)=2004
5. 已知a、b、c、d四个正整数中，a被9除余1，b被9除余3，c被9除余5，d被9除
（A）AM与CC1是异面直线。 （B）AM与NB1是异面直线。
（C）AN与MB1是异面直线。 （D）AN与MC1是异面直线。
3．函数y＝-√(1-x) (x≤1)的反函数是（A）y=x2-1 (-1≤x≤0). (B)y=1-x2 (x≤0) (C)y=x2-1(0≤x≤1) (D)y=1-x2(0≤x≤1)
4．一条直线与不等边ΔABC的边AB，AC分别交于D、E，若直线DE既平分ΔABC的周长，又平分ΔABC的面积，则直线DE必过ΔABC的
（A）重心 （B）外心 （C）内心 （D）垂心
5．已知f（x6）=log2x，那么f（8）等于
（A）4/3 （B）8 （C）18 （D）1/2
6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直。
以上四个命题中正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②③④ （C）③④ （D）②④
二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）
1．正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，N为棱AD的中点，异面直线MN与CD所成的角为α，AC与MN所成的角为β，求α＋β的度数。
2．若实数X，Y，Z满足√X＋√(Y－1)＋√(Z－2)＝1/2（X＋Y＋Z），求logz（X＋Y）的值。
3．设对任意实数X都有f (x)=x2+lg(x+√(x2+1))，且f (a)=m，求f (-a)，用a，m表示。
4．设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x+2)=-1/f (x)，当2≤X≤3时，f (x)=x，确定f (5.5)的值。
5．四面体ABCD中，棱CD垂直于平面ABC，AB＝BC＝CA＝6，BD＝3√7，设二面角D－AC－B记为α，二面角D－AB－C记为β，二面角B－DC－A记为r，求sinα＋tgβ+cosr的值。
6．分别用max{x1,x2,x3,…,xn}、min{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn的最大值与最小值。
若a+b+c=1，（a,b,c∈R），确定min{max{a+b,b+c,c+a}}的值。
7．设3x=0.03y=10-2，求(1/x-1/y)2001的值。
8．若关于x的方程sin2x+sinx+a=0有实数解，求实数a的最大值与最小值的和。
一、填空题（满分40分，每小题答对得8分）
1．已知f (x+y)=f (x)•f (y)对任意的非负实数X，Y都成立，且f (1)=3，则f (1)/f (0)+f(2)/f(1)+f (3)/f (2)+f (4)/f (3)+…+f (2000)/f (1999)+f (2001)/f (2000)=（ ）
2．在右图中，AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，四边形ABCD的面积是22，正方形CDEF的面积是25，则线段AE＝（ ）。
3.设a=√(1+1/12+1/22)+√(1+1/22+1/32)+√(1+1/32+1/42)+…+√(1+1/20002+1/20012)，则与a最接近的整数是（ ）
4．两个不同的二次三项式f (x)与g (x)，它们的首项系数都是1，并且满足f (1)+f (10)+f (100)=g (1)+g (10)+g (100)。则方程f (x)＝g (x)的解x＝（ ）。
5．在四面体ABCD中，二面角B－AC－D是直二面角，AB＝BC＝CD，BD＝AC，二面角B－AD－C记为α，则cosα=（ ）。
二、（满分15分）整系数多项式f (x)满足f (1999)•f (2000)=2001，请你证明f (x)=0没有整数根。
三、（满分15分）已知二次函数f (x)满足f (-1)=0，并且对一切实数x，恒有x≤f (x)≤1/2(x2+1)试确定f (x)的表达式，并计算f (2001)的值。
四、（满分15）在四面体ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝5，∠ABC＝45°，∠BCD＝90°，直线AB和CD所成的角等于60°，求棱AD的长。
五、（满分15分）在集合M＝｛2,3，4,5，6,7，8,9，10,11，…,958,959,960｝中任意取出11个两两互质的自然数，证明：其中至少有一个是质数。 ggg
参考资料：http://iask.sina.com.cn/b/4618284.html
