为什么矩阵等价的充要条件是秩相等?
发布网友
发布时间:2022-09-06 01:05
我来回答
共2个回答
热心网友
时间:2024-10-20 08:19
对的。
矩阵等价的定义:若存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价,即A经过初等变换可得到B。
充分性:经过初等变换,秩是不改变的,即R(A)=R(PAQ)=R(B)。
必要性:设R(A)=R(B)=m,则A经过初等变换一定能化成最简型矩阵,这个最简型矩阵记作C。 C的秩为m。同样,B矩阵经过初等变换能化成一个最简型矩阵,因为B的秩是m,所以B化成的最简型也是C。也就是说,A与C等价,B与C等价,所以,A与B也等价。
热心网友
时间:2024-10-20 08:19
a与b等价的意思是存在可逆阵p和q使得paq=b
只要把a和b各自化到等价标准型就清楚了
a=p1d1q1
b=p2d2q2
如果paq=b,那么由a=p1d1q1得b=(p*p1)d1(q1*q),得到rank(a)=rank(b)=rank(d1)
反过来,rank(a)=rank(b)可得d1=d2,取p=p2p1^{-1},q=q1^{-1}q2即得paq=b