算法-KMP
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发布时间：2022-09-06 12:13
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时间：2024-04-28 03:59
大一下参加学校ACM预备队集训的时候首次接触KMP算法，当时看了很多介绍文章，仍然不是很理解其实质，只是简单地套模板AC题目，待大二数据结构与算法课堂上再听老师介绍一次，才恍然大悟其实KMP也就是那么回事嘛。但当初为啥看那么多文章都没弄明白呢？正巧最近和朋友聊天时他告诉我他对KMP不是很理解，于是打算自己写一篇文章，巩固自己对KMP的认识，也希望能够帮助更多朋友理解KMP。
在开始之前，需要知晓的概念：
前缀：以原串串头为自身串头的子串，如 的前缀有：
后缀：以原串串尾为自身串尾的子串，如 的后缀有：
注意：字符串前后缀都不包括该串本身
给你一个文本串T(Text String)
再给你一个模式串P(Pattern String)
问该模式串是否在文本串中，怎么找？
一开始只好分别从文本串与模式串的串头开始逐字母比较
二者相同，再比较T串与P串的下一位
如此反复
如果一直这么顺利，两串对应位置的字符总相同，待P串中最后一个字符也匹配完毕，说明该模式串在文本串中存在，耶( •̀ ω •́ )y超开心，查找结束。但，大多数匹配过程不会如此顺利，在该例中，当匹配进行至
很明显，失配了。现在怎么办？按朴素思想，将P串相对T串整体右移一位，重新开始匹配，即
但这种算法效率无疑是十分低下的。设T串长度N，P串长度M，则朴素算法时间复杂度为O(MN)
已知的重要信息并没有被使用——已匹配的字符串前缀
在上例中，当P串最后一个字符匹配失败时，其已有包含七个字符的前缀子串S匹配成功
完全可以利用前缀子串S做点什么。观察到在S串
中，有相同前后缀，即下图蓝色部分
而S串各字符又与T串中对应字符相同，即有
当失配发生后，直接将P串右移四位使S串蓝色后缀部分对齐T串中蓝色前缀部分
从图中红框部分继续尝试匹配，发现再次失配。这次，已匹配成功的前缀串S为
而在该串中没有相同的前后缀，只能将P串串头移至失配处进行比较
再次失配。此时前缀串S为空串，只好如朴素算法般将P串整体右移一位，重新开始比较
匹配成功。于是又按照之前的步骤往下匹配，直至再次失配或匹配成功
后续步骤同上，不再赘述
上述示例已展现，KMP算法的精髓在于对已匹配成功的前缀串S的利用
在朴素算法中，匹配失败了，T串待匹配字符会回溯
T串原本已匹配至T[7] = 'X'，但是因为失配，需回溯到T[1] = 'b'重新开始匹配
而在KMP算法中，若P[M]与T[K]匹配失败，K不会回溯。既然匹配过程是从T[0]开始逐渐向右进行的，至T[K]失配发生时，T[0]至T[K-1]早已匹配过，何必再回溯过去重复匹配呢？于是乎，就如问题引入部分展示般
每当失配发生，我们总是去关注P串中已匹配成功的前缀串S
因为该前缀串是匹配成功的，说明在T串中必定存在与该前缀串相同的子串，记为S'
若S串中存在相同前后缀
则S'串必然也存在此相同前后缀
所以只需将P串右移四位，使得S串的该相同前缀对齐S'串的该相同后缀
再尝试比较T[7]与P[3]
至于T[7]与P[3]是否能够匹配另说（当然，本例中一看就知道没匹配上），但通过对前缀串S的利用，成功省去了P串右移一位、两位和三位后的无效匹配
继续深入思考，给定一个具体的P串，其第N位的前缀串S内容是固定的，则S是否存在相同前后缀、相同前后缀的长度与内容也是确定的。换言之，对于一个具体的P串，当其与给定T串匹配至P[N]失配，P串应右移几位再次与T串进行匹配也是确定的。我们完全可以使用一个数组记录当P[N]失配后，应当使用N之前的哪一位再来与T串进行匹配，以此提高匹配效率，记该数组为Next数组
定义Next[i] = j表示当P串中第i位失配后，跳转至P串第j位再次尝试匹配
还是以之前的P串为例，它的Next数组求出来应为
取下标5为例，其前缀串为
最长相同前后缀为
若P[5]失配，应跳转至P[1]再次尝试匹配（最长相同前缀对应P[0]，则取其后一位P[1]，若存在多位，则取最后一位的下一位），P[5]的前一个字符P[4]对应字符'a'，而P[1]前一个字符P[0]同对应字符'a'，保证了P[1]之前字符与T串中对应字符保持匹配。所以Next[5] = 1，其余下标对应Next数组值同如此求。
特别地，规定Next[0] = -1。而对于除下标0外的任意下标N，Next[N]的含义是前N-1个已匹配成功的字符构成的前缀串S中，最长相同前后缀长度。所以若在下标为N处匹配失败了，则应前往Next[N]所对应的下标处匹配。
具体地，以下图所示为例，P[6]与T[6]失配
而Next[6] = 2，所以使用P[2]再次尝试与T[6]进行匹配
当求出P串Next数组后，便可快速进行与T串的匹配
现在问题只剩下如何求Next数组，注意到Next数组既然只与P串本身相关，与文本串T无关，故令P串与自身匹配即可求得
考虑字符串
其Next数组应为
令其与给定文本串相匹配
当匹配进行至
失配，于是跳转至P[Next[3]] = P[1]处再次尝试匹配
再度失配，也必然失配
问题在于不该出现P[N] =P[Next[N]]
若P[N] =P[Next[N]]，则P[N]失配后使用P[Next[N]]再次尝试匹配，由于P[N] =P[Next[N]]，P[N]匹配失败，P[Next[N]]必然也失败
因此，若出现P[N] =P[Next[N]]情况，则令Next[N]=Next[Next[N]]
本例中该字符串新Next数组为
当匹配进行至
失配，于是跳转至P[Next[3]] = P[0]处再次尝试匹配
省去了之前跳转至P[1]处的无效匹配
设T串长度M，P串长度N，由于KMP算法不会回溯，分析易知时间复杂度为O(m+n)
对于P[N]，若其前缀串S含相同前后缀F，且F长度为n（n>1），Next[N]可以取1至n中任意值，为最大化匹配效率考虑，总是取最大相同前后缀以提高效率，节省时间
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时间：2024-04-28 03:59
大一下参加学校ACM预备队集训的时候首次接触KMP算法，当时看了很多介绍文章，仍然不是很理解其实质，只是简单地套模板AC题目，待大二数据结构与算法课堂上再听老师介绍一次，才恍然大悟其实KMP也就是那么回事嘛。但当初为啥看那么多文章都没弄明白呢？正巧最近和朋友聊天时他告诉我他对KMP不是很理解，于是打算自己写一篇文章，巩固自己对KMP的认识，也希望能够帮助更多朋友理解KMP。
在开始之前，需要知晓的概念：
前缀：以原串串头为自身串头的子串，如 的前缀有：
后缀：以原串串尾为自身串尾的子串，如 的后缀有：
注意：字符串前后缀都不包括该串本身
给你一个文本串T(Text String)
再给你一个模式串P(Pattern String)
问该模式串是否在文本串中，怎么找？
一开始只好分别从文本串与模式串的串头开始逐字母比较
二者相同，再比较T串与P串的下一位
如此反复
如果一直这么顺利，两串对应位置的字符总相同，待P串中最后一个字符也匹配完毕，说明该模式串在文本串中存在，耶( •̀ ω •́ )y超开心，查找结束。但，大多数匹配过程不会如此顺利，在该例中，当匹配进行至
很明显，失配了。现在怎么办？按朴素思想，将P串相对T串整体右移一位，重新开始匹配，即
但这种算法效率无疑是十分低下的。设T串长度N，P串长度M，则朴素算法时间复杂度为O(MN)
已知的重要信息并没有被使用——已匹配的字符串前缀
在上例中，当P串最后一个字符匹配失败时，其已有包含七个字符的前缀子串S匹配成功
完全可以利用前缀子串S做点什么。观察到在S串
中，有相同前后缀，即下图蓝色部分
而S串各字符又与T串中对应字符相同，即有
当失配发生后，直接将P串右移四位使S串蓝色后缀部分对齐T串中蓝色前缀部分
从图中红框部分继续尝试匹配，发现再次失配。这次，已匹配成功的前缀串S为
而在该串中没有相同的前后缀，只能将P串串头移至失配处进行比较
再次失配。此时前缀串S为空串，只好如朴素算法般将P串整体右移一位，重新开始比较
匹配成功。于是又按照之前的步骤往下匹配，直至再次失配或匹配成功
后续步骤同上，不再赘述
上述示例已展现，KMP算法的精髓在于对已匹配成功的前缀串S的利用
在朴素算法中，匹配失败了，T串待匹配字符会回溯
T串原本已匹配至T[7] = 'X'，但是因为失配，需回溯到T[1] = 'b'重新开始匹配
而在KMP算法中，若P[M]与T[K]匹配失败，K不会回溯。既然匹配过程是从T[0]开始逐渐向右进行的，至T[K]失配发生时，T[0]至T[K-1]早已匹配过，何必再回溯过去重复匹配呢？于是乎，就如问题引入部分展示般
每当失配发生，我们总是去关注P串中已匹配成功的前缀串S
因为该前缀串是匹配成功的，说明在T串中必定存在与该前缀串相同的子串，记为S'
若S串中存在相同前后缀
则S'串必然也存在此相同前后缀
所以只需将P串右移四位，使得S串的该相同前缀对齐S'串的该相同后缀
再尝试比较T[7]与P[3]
至于T[7]与P[3]是否能够匹配另说（当然，本例中一看就知道没匹配上），但通过对前缀串S的利用，成功省去了P串右移一位、两位和三位后的无效匹配
继续深入思考，给定一个具体的P串，其第N位的前缀串S内容是固定的，则S是否存在相同前后缀、相同前后缀的长度与内容也是确定的。换言之，对于一个具体的P串，当其与给定T串匹配至P[N]失配，P串应右移几位再次与T串进行匹配也是确定的。我们完全可以使用一个数组记录当P[N]失配后，应当使用N之前的哪一位再来与T串进行匹配，以此提高匹配效率，记该数组为Next数组
定义Next[i] = j表示当P串中第i位失配后，跳转至P串第j位再次尝试匹配
还是以之前的P串为例，它的Next数组求出来应为
取下标5为例，其前缀串为
最长相同前后缀为
若P[5]失配，应跳转至P[1]再次尝试匹配（最长相同前缀对应P[0]，则取其后一位P[1]，若存在多位，则取最后一位的下一位），P[5]的前一个字符P[4]对应字符'a'，而P[1]前一个字符P[0]同对应字符'a'，保证了P[1]之前字符与T串中对应字符保持匹配。所以Next[5] = 1，其余下标对应Next数组值同如此求。
特别地，规定Next[0] = -1。而对于除下标0外的任意下标N，Next[N]的含义是前N-1个已匹配成功的字符构成的前缀串S中，最长相同前后缀长度。所以若在下标为N处匹配失败了，则应前往Next[N]所对应的下标处匹配。
具体地，以下图所示为例，P[6]与T[6]失配
而Next[6] = 2，所以使用P[2]再次尝试与T[6]进行匹配
当求出P串Next数组后，便可快速进行与T串的匹配
现在问题只剩下如何求Next数组，注意到Next数组既然只与P串本身相关，与文本串T无关，故令P串与自身匹配即可求得
考虑字符串
其Next数组应为
令其与给定文本串相匹配
当匹配进行至
失配，于是跳转至P[Next[3]] = P[1]处再次尝试匹配
再度失配，也必然失配
问题在于不该出现P[N] =P[Next[N]]
若P[N] =P[Next[N]]，则P[N]失配后使用P[Next[N]]再次尝试匹配，由于P[N] =P[Next[N]]，P[N]匹配失败，P[Next[N]]必然也失败
因此，若出现P[N] =P[Next[N]]情况，则令Next[N]=Next[Next[N]]
本例中该字符串新Next数组为
当匹配进行至
失配，于是跳转至P[Next[3]] = P[0]处再次尝试匹配
省去了之前跳转至P[1]处的无效匹配
设T串长度M，P串长度N，由于KMP算法不会回溯，分析易知时间复杂度为O(m+n)
对于P[N]，若其前缀串S含相同前后缀F，且F长度为n（n>1），Next[N]可以取1至n中任意值，为最大化匹配效率考虑，总是取最大相同前后缀以提高效率，节省时间
