如何用计算器快速求根式方根的平方根?
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发布时间：2022-09-09 03:11
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时间：2023-11-10 22:12
方法一：牛顿切线法
求a的平方根，相当于求f(x)=x²-a=0的正根，
假设随意猜测一个x的初始值x0。由于f'(x)=2x，
过猜测点(x0,f(x0))的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，令y=0，
x=x0-f(x0)/f'(x0)=x0-(x0^2-a)/2x0=(x0+a/x0)/2是切线与x轴的交点。
画出图形就很容易看出任意选取x0，重复上一过程，都可以在不超过两次重复时，使得x比x0更接近方程的根，此处不再作严格证明。
于是，反复进行上一过程，就能得到越来越接近准确值的近似值，写成递推公式就是：
x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(x0>0任意选取，当然尽量选接近的)。
方法二：巴比伦算法
若对a求算术平方根，随意选取0<x0<a，
于是x0和a/x0当中，由于总是有x0*a/x0=a，则二者中必有一个大于√a，另一个小于√a，
那么，他们的算术平均值肯定比他们两者都要接近√a，重复这一过程，必越来越接近√a。
写成递推公式就是：x(n+1)=[x(n)+a/x(n)]/2，(0<x0<a)，可以看出，和方法一如出一辙，而且推导过程更容易理解，古人还是很厉害的。
例题：求√67的值
选取x0=8，则x1=(8+67/8)/2=8.1875，x2=(8.1875+67/8.1875)/2=8.185353，
x3=(8.185353+67/8.185353)/2=8.1853527718724531...
而计算器直接算得8.1853527718724499...
可见选取比较接近的初值时，迭代一次精度可达到百分之一，两次达到百万分之一，
三次达到了十万亿分之一。当然x0选得不好的时候，要算更多遍才能达到相同的精度。
方法三：长除法（笔算法）
以√6767为例，我们知道完全平方是(a+b)²=a²+2ab+b²
由于是逐位算出的，所以每位的平方最大是9²=81，不会超过两位数，于是可把被开方数从小数点为界向两边，两个两个分组，最后剩一个的补0，比如123.321就分成01'23.32'10，例题的6767就分成67'67。
我们知道80*80=6400，90*90=8100，所以√6767一定是八十几点几，于是设成(80+b)，a=80，b还不知道，只知道它小于10。
好了，6767=a^2+2ab+b^2，6767-80²=367=2ab+b²=160b+b²
现在b商多少呢?
注意到试商的时候，前面的数比较大，x却总是个位数，相当于是高阶无穷小，所以很容易看出来——商个3超了，所以商个2，余数是367-320-4=43，
变成了82+x，我们不知道x是多少，只知道x小于1，43=2*82x+x²
因为划分了小数点，所以用x/10代替上述x，就可以写成4300=(2*820+x)x，现在x就是数位而不是一个小数了，
试商x=2，4300-(1640+2)2=1016，101600=2*8220x+x²，
x=6，101600=(2*8220+6)6=2924……292400=2*82260x+x²……
反正就是一直下去，√6767=82.26……
这是我国古代的方法，这里只是没有列成竖式而已。
练习1：√21，精确到4位小数
a=4，21-4*4=5，500=2*40x+x²
x=5，500-(2*40+5)5=75，7500=2*450x+x²
x=8，7500-(900+8)8=236，23600=2*4580+x²
x=2，23600-(9160+2)2=5276，527600=2*45820x+x²
x=5，527600-458200-25=69375，6937500=2*458250x+x²
x=7，6937500-2*458250*7-49=521951，52195100=……
所以√21=4.58257......≈4.5826
练习2：求√1156
分组，11'56
a=30，1100-30²=200，200+56=256，256=2*30b+b²
b=4，256-2*30*4-4²=0，余0，开尽。
所以√1156=34
