摘抄与理解--RSA加密和ssl
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发布时间：2022-09-03 10:41
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时间：2023-05-02 12:49
加密和解密使用同样规则（简称"密钥"），这被称为 "对称加密算法"
RSA是一种非对称加密的算法，为什么会有这个，先说对成加密，对称就是同一个密钥加密解密，不安全，
SSL是基于非对称加密的原理，在这之上还进行了对称加密的数据传输
对成加密的话：
（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
因为加密规则是相同的，所以最好是一份数据，或者一个客户一个密钥，每个人密钥不能不能随便公开
非对称加密的话：
（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。
（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。
（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。
虽然大家都是用的同一个公钥加密的，但是只有有密钥才解得开，随便你的公钥怎么传播
互质关系
如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是 互质关系 （coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。
关于互质关系，不难得到以下结论：
1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。
2. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。
3. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。
4. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。
5. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。
6. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。
欧拉函数
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做 欧拉函数 ，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4，
我有个蠢的办法先说说，互质的本质是，两个数的所有公因子，出了1没有交集，所以我们可以先求8的所有公因子（1-8除个遍，余数为零的就是他的公因子），然后剩下的1-8，循环一遍，把他们的所有公因子也求出来，对比两者的公因子除了1以外还有没有交集，没有的话，说明两者互质。
或者就是按照文章里的1-6条规则L一一算一遍
欧拉定理
欧拉函数的用处，在于 欧拉定理 。"欧拉定理"指的是：
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
（3（φ(7)） - 1）= 7*104
欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。
欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，
已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。
因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来
模反元素
还剩下最后一个概念：
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
这时，b就叫做a的 "模反元素" 。
3 * 5 - 1 = 7 * 2
5就是3的模反元素
密钥生成的步骤
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。互质
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓 "模反元素" 就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
17x + 3120y = 1
这个方程可以用 "扩展欧几里得算法" 求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用 ASN.1 格式表达（ 实例 ）。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
p
q
n
φ(n)
e
d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解
加密和解密
有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓"加密"，就是算出下式的c：
me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
cd ≡ m (mod n)
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出
27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，"加密--解密"的整个过程全部完成
原文1: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/06/rsa_algorithm_part_one.html
原文2: http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html
