二阶线性微分方程y''-y=e的-x次方+e的x次方的特解形式为(详情看图)
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发布时间:2022-04-22 21:55
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时间:2023-06-23 01:55
求微分方程y''-y=e^(-x)+e^x的通解。
解:齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;
因此齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x;
设其特解为:y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得:
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1,即a=-1/2;故特解为:y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
简介
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程,简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类,一是二阶线性齐次微分方程,二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中,未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的,就称它为二阶线性微分方程,简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类,一是二阶线性齐次微分方程,二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解,后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。
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时间:2023-06-23 01:56
求为分方程 y''-y=e^(-x)+e^x的通解
解:齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;
因此齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x;
设其特解为:y*=ax[e^(-x)+e^x]
则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;
y*''=-ae^(-x)-a(1-x)e^(-x)+ae^x+a(1+x)e^x=(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x;
代入原式得:
(-2a+ax)e^(-x)+(2a+ax)e^x-ax[e^(-x)+e^x]=-2a[e^(-x)+e^x)=e^(-x)+e^x;
∴-2a=1,即a=-1/2;故特解为:y*=-(1/2)x([e^(-x)+e^x]
通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x-(1/2)x([e^(-x)+e^x].
【特解与齐次方程的特征方程的根有关,故先要求齐次方程的通解。】
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时间:2023-06-23 01:56
k^2-1=0,得出k=1和-1
设特解为(Ax+B)e^(-x)+(Cx+D)e^x
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时间:2023-06-23 01:57
Axe^(x)+Bxe^(-x)+Ce^x+De^(-x);
这是所谓的共振的情形!
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时间:2023-06-23 01:57
简单计算一下即可,答案如图所示
二阶线性微分方程y''-y=e的-x次方+e的x次方的特解形式为(详情看图)
解:齐次方程y''-y=0的特征方程 r²-1=0的根:r₁=-1;r₂=1;因此齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x)+c₂e^x;设其特解为:y*=ax[e^(-x)+e^x]则y*'=a[e^(-x)+e^x]+ax[-e^(-x)+e^x]=a(1-x)e^(-x)+a(1+x)e^x;y*''=-ae...
常微分方程dy/dx=e^(x-y)的通解是什么?
常微分方程dy/dx=e^(x-y)的通解为ln(e^x+c1)。解答过程如下:dy/dx=e^x/e^y e^ydy=e^xdx e^y=e^x+c1 y=ln(e^x+c1)一阶微分方程的普遍形式 一般形式:F(x,y,y')=0 标准形式:y'=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式 ...
求微分方程Y'=e^(x-y)的通解,详细解
解:∵y'=e^(x-y) ==>dy/dx=e^x/e^y ==>e^ydy=e^xdx ==>e^y=e^x+C (C是积分常数)∴原方程的通解是e^y=e^x+C (C是积分常数)
微分方程特解 y的n次方—2y'+y=e 的X次方的特解应该具有的形式?
y*=1/3e^x
微分方程Y’-Y=e 的-x次方的通解
(e^-x+c*e^x)/2 c为任意实数
2常微分方程y'=y+e的x次方,满足初始条件y(0)=3的特解是()
y'= y+e^x y'-y = e^x The aux. equation p-1=0 p=1 let y = (Ax+B)e^x y' =[Ax+(A+B) ]e^x y'-y = e^x [Ax+(A+B) ]e^x - (Ax+B)e^x =e^x => A= 1 y = (x+B)e^x y(0)=3 B =3 ie 特解 y = (x+3)e^x ...
求微分方程y‘’-2y‘+y=(x-1)e的x次方的通解
简单计算一下即可,答案如图所示
构造一个二阶常系数齐次线性微分方程,使得1,e的x次方,2e的x次方,e的...
y''-y'=0。--- 1=e^(0*x),e^x是微分方程的解,且线性无关,由此可知0,1是特征方程的根,所以特征方程是r(r-1)=0,即r^2-r=0,所以所求微分方程是y''-y'=0。
y''=x+e的2x次方
这是二阶微分方程,根据方程的特征,可对ⅹ两次积分求得y的表达式。详细步骤如下图所示:
求微分方程y'+2y=e^-x(e的-x次方)满足初始条件x=0,y=2的特解
-x), 一阶线性微分方程,通解是 y = e^(-∫2dx)[∫ e^(-x)e^(∫2dx)dx + C]= e^(-2x)[∫ e^(-x)e^(2x)dx + C]= e^(-2x)[∫e^xdx + C] = e^(-2x)[e^x + C]= e^(-x)+Ce^(-2x )y(0) = 2 代入 得 C = 1 则 y = e^(-x)+e^(-2x )