切比雪夫不等式的内容是什么?怎样证明?
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发布时间：2022-08-25 13:32
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时间：2024-05-09 22:06
对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0,
恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2
切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。
同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
与平均相差2个标准差的值，数目不多於1/4
与平均相差3个标准差的值，数目不多於1/9
与平均相差4个标准差的值，数目不多於1/16
……
与平均相差k个标准差的值，数目不多於1/k2
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少於50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多於4个（=36*1/9）。
测度论说法
设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t > 0，
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
概率论说法
设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对於任何实数k>0，
改进
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：
这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。
当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：
[1]
证明
定义，设为集的指标函数，有
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr(|Y| \le \opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X �6�1 μ)2及a = (kσ)2。
亦可从概率论的原理和定义开始证明：
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