y=ln(x+√1+x^2)的反函数是什么?
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发布时间：2022-04-23 18:48
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时间：2023-10-13 15:42
Y=ln【(x+√(x²+1)】
x+√(x²+1) = e^y
√(x²+1) = e^y - x
1 = e^2y - 2xe^y
2xe^y = e^2y - 1
x = （e^2y-1)/(2e^y) = e^y/2 - 1/{2e^y)
即，反函数：y = e^x/2 - 1/{2e^x)
反函数存在定理
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
