分数的乘法

发布网友 发布时间：2023-04-07 07:58

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热心网友 时间：2024-01-29 13:21

 

  在学了整数乘法，小数乘法之后难道就把整个乘法都学完了吗？肯定没有。我们在五年级时学的分数的加减法，那么，既然是一个数也定可有乘法除法，也就是在六年级是我们学了分数的乘法，大概的学习脉络，我用脑图的形式画了出来，如图：

  首先，我们在学习这一章分数的乘法时，不是直接学，因为分数乘法之前，我们已经知道了，什么是乘法，而且已经学过中数小数的具体乘法，所以并不是五基础的开始有钱温故一下之前学过的东西，现在问了顾小孩一直不知道我们这几张到底要学什么没有一个总的概念，所以还要再之心，知道要学什么，你是我自己举了几个例子，如二分之一×三等于几？四分之一6分之1等于几这样我就知道了目标，下一步就是去解决它了。

  以前我们学的是分数的加减法，今天我们要讨论的是分数的乘法。它到底是怎么运算的呢？又为什么这样运算呢？有一些人可能只知道一个公式，却不知道它背后的原理...

  分数的乘法分两类。第一类是分数乘整数，第二类，是分数乘分数。那么先让我们看一下分数乘整数。

  举个例子来说吧，就比如二分之一乘2等于多少。看到这道题，刚开始确实不知道该怎么算，因为还没有学过。但是我发现，可以把这个不会的知识，转化成我会的。就比如说我可以把一个分数乘整数，转化成一个小数乘整数。这个我们以前是学过的。因为分数和小数之间，可以相互转化有关系。二分之一，也就等于1÷2，结果是0.5。0.5×2=1。这样便算出来了。还有一个办法，便是利用乘法的意义。二分之一乘二，也就是两个二分之一相加。那么就可以巧妙地把二分之一乘二，转化成二分之一，加二分之一。分数的加法我是学过的，最后的结果也就是一。这些方法确实可行，但是这毕竟是转化成我们以前学过的，并不是他最简单的算法。如果说是一个很大的数位，那该怎么办？所以我们只能去探究它最简单的方法。首先我想到了一个办法，便是画图。举例来说，就比如三分之一乘二。三分之一便是将一个整体平均分成三份，取其中的一份。然后现在有两个这样的三分之一，也就是拿两份。画成图就是这样：

  原来只有一个三分之一，现在有两个。在图中可以直接，直观地看出来，也就是红色的部分，占整体的三分之二。看来还有一种办法便是画图。之后我又写了很多这样的分数乘整数，并且一直画图，最后发现了一个规律。分数乘整数时，分母不变，分子乘整数。我试着用这个规律套了一下图，发现每一次都是对的。但是究竟为什么是这样呢？三分之一乘二，为什么非要是1×2呢？三分之一可以理解为，把一个整体平均分成三份，取其中的一份，也就是一个分数单位。而现在乘了一个二，也就是说，有两个三分之一。其实换句话来说，也就是两个一个分数单位。两个一个就是2×1，而分子就是那个分数单位。所以才是分子乘那个整数。其实就是几个分数单位的问题。分数乘整数，其实和整数的乘法非常像。整数举个例子来说2×3，其实可以把那个二转化成分数。是一分之二。 2×3也就等于一分之二×三， 又成一个分数乘整数，几个分数单位的问题。这是多么的神奇！但是在分数乘整数里还分为两类，其中的一类便是要约分的，另类便是不用约分的。就比如说三分之二×三，结果是三分之六，约分就等于2。但是有没有一种方法，让这个约分更加的快。不是算出结果再约，而是在中间的过程中约分呢？三分之二×三其实也就是这样：

  这个时候，我发现分子和分母都有公因数三，再利用分子分母同时乘或除以一个数，分数大小不变。让上下都除3。分母除3 ，然后不让上面的2×3算出结果，直接乘三，再除三，三就被抵消了，最后直接得到一分之二也就等于2。这样的方法更加的简洁。最后，我们可以试着用字母来表示一下分数乘整数。

  这便是一个普遍适用公式，当中提到了分母不能为零，因为分母相当于除法中的除数，当然不能为零。而且重的药是一个自然数，因为他要不是自然数，还怎么能叫分数乘整数呢？

  有关分数乘整数的的问题，已经都明白了其原理，现在让我们来讨论一下，分数乘分数的问题。

  举例来说吧，就比如三分之一×五分之一，我们确实还可以把它转化成小数来计算，但如果数位太大就很麻烦，所以还是要探究它最简单的方法。首先可以用画图的办法。先把一个整体平均分成三份，取其中的一份是三分之一。再把三分之一平均分成五份，取其中的一份。转化成图就是这样：

  最后，我们看一下这其中的一份站整体的多少呢？可以把每一份都平均分成五份，这样让每一个单位都保持一样。最后数一下一共是15份，而其中的那一份站整体的十五分之一。我同样还是列了很多分数乘分数的问题，都用画图法来解决。最后，我也发现了一个规律。便是分子乘分子分母乘分母。但是他到底为什么是这样？让我们试着在图中找到答案。就比如说七分之二×三分之二，把一个总体平均分成七份，取其中的2份，再把这两份平均分成三份取其中的2份，化成图是这样：

  可以很直观的得到，结果是二十一分之四。但这些数究竟是怎么来的呢？让我们先从分母来看。现在是七分之二，我们不妨先把它理解为两个七分之一。先算七分之一×三分之二。把整体先平均分成七份取其中的一份，然后再把这一份平均分成三份，其实也就是分成了三乘七份。因为一共有七大份，每一份又分成了三份，自然就是份数×3。这也就是为什么是分母乘分母。现在让我们来看一下分子部分。如果说是七分之一×三分之二，按照分子乘分子也就是1×2。但这怎么理解呢？原来只有一个分数单位怎么一下子就变成了两个？其实就是因为他把其中一个分数单位，平均分成了三份，取了其中的两份。也就是说把这一大份变成了两小份的就可以，直接说是2份。这也就是为什么是分子乘分子。最后算出来七分之一×三分之二，还要在成一个，因为刚才是分为了两个七分之一， 除了一个2 。为保证结果不变，最后还要再乘2。这也就是分数乘分数的原理。但是分数乘分数，肯定也面临着约分的问题。就如同分数乘整数那样。比如说三分之二乘六分之三，结果是十八分之六，再等于三分之一。有没有在中间月份的方法？肯定是有的，如图：

  根据分数基本性质分子分母同时除一个数，分数大小不变。而这时分子分母正好又有公因数，所以就直接把它给约了，不让上面和下面的两个数算出结果，直接约。这样也更加的简便。最后让我们用字母来表示一下。

  而分数乘分数，同时也与整数乘法有关系，也与分数乘整数有关系。因为他们最终都可以转化成分数乘分数。

所以最后可以说明，不管是分数乘整数，分数乘分数，还是整数乘法，它们其实最终都是分数乘分数。也就是说，分数乘分数包含了分数乘整数，以及整数乘法。而且他们三者之间可以相互转化。

  接下来我写的一支是简便运算，简便运算之后是实际应用。当然，这样也没有问题，因为在学了算理之后可能有更简便的方法来算，但在这里我还是觉得应该把简便算法归到实际应用，因为只有在解决生活中的问题的时候才会用到简便算法，更容易计算。所以就直接让我们来看实际应用这一支。分数的乘法——实际应用

  在学会了分数的乘法之后，我们要干什么呢？换句话来说，就是我们学分数的乘法是为什么？其实一切学的数学知识，就是为了解决实际生活中的问题。要不然学了就是一个死知识，有什么用呢？

  我们学了分数乘整数，以及分数乘分数。这就是分数乘法的两大类。

  首先，让我们看一下分数乘整数。如题：

  一共有两大题，先让我们看第一题。小新，爸爸，妈妈共吃一个蛋糕。每个人吃九分之二个，三个人一共吃了多少？我们要先明白，他们说每个人吃九分之二个，是吃谁的九分之二。大家再读第一句话， 三个人共吃一个蛋糕，也就是说，每个人吃这个蛋糕的九分之二。现在有三个人吃这个蛋糕的九分之二。也就是三个九分之二，三乘九分之二。这样就列出来了一个算式，直接计算出来就知道结果了。可是究竟为什么要这样列呢？这样会不会产生分歧呢？我觉得可以，不会产生分歧。这个倍数关系，与以前学的不同。以前学的是整数的整数倍，而现在是分数的整数倍，但虽然是分数，可他也是一个数呀，当然也是可以参与乘法运算的，都表示谁的几倍，在前面我们已经知道了，凡是谁是谁的几倍都用乘法。自然也不会产生分歧。第二大题，其实和第一道题是一个意思，只不过就是换了一下分的东西的名字。还是先找到单位一。就是那一袋面包的重量，是十分之三千克，现在有三个这样的十分之三，也就是三乘十分之三。这样的话也不会产生分歧，因为虽然是分数，但他也是数，可以参与乘法运算。

  好了，现在让我们继续解决分数乘分数的问题。如题：

  一共2问，先让我们看第一问。你伯伯家有一块二分之一公顷地，土豆的面积占这块地的五分之一，种土豆的面积是多少公顷。首先，我们要先找到单位一，也就是这块地的面积，二分之一公顷。现在他说，土豆的面积占这块地的五分之一，现在可以把地转化成二分之一，也就是二分之一的五分之一，二分之一乘五分之一，这样也就算出来了土豆的面积。再看玉米的面积是多少。占这块地的五分之三，二分之一的五分之三，二分之一乘五分之三。这与以前也不一样。因为这样是分数的分数倍，和他也不会产生分歧。因为毕竟分数也是数，可以参与乘法运算。

  大家再看这道题，有没有感觉和上一道题不太一样。这道题还能像上面所说的一样吗？就比如十二里面有几个二分之一？这样说就不行了。应该说十二的二分之一。可以理解为它的二分之一倍。这个与以前学的不同。因为他是分数的整数倍。但是难道这样就不能是倍数关系了吗？分数也是数，可以参与乘法运算。所以在这里完全可以理解为倍数关系。只不过不是整数。

  我们发现以上这几道题，计算量都很小。计算起来很容易。但是在生活中难免会遇到一些非常难算的题，这时候就要用到简便运算。可是分数乘法适用于哪些运算律呢？我们可以通过几个例子，来证明一下。

  首先先让我们看第一道题三分之二乘四分之一乘三。我们发现三分之二乘四分之一，分子分母并没有公因数。得出的结果再算也很难算出来。但是我们发现这是一道连乘算式，看看可不可以利用乘法交换律，让三分之二和三先乘，分母三和三有公因数。得到结果是二，再直接用二乘四分之一，等于二分之一。这样很简便，并且结果和正确结果一样。而且还可以通过体积模型来解释。把这三个数分别当成长宽高，不管怎么乘体积都是一样的。

  再让我们看一下第二题：九分之八和二十七分之四的和，乘27。可以把它理解为九分之八+二十七分之四个27。我们可不可以把他们分开相乘。意义上也可以解释的过去，一个是合起来乘二十七，一个是分开乘二十七，数量都是一样的。分开反而更简便，因为九，二十七都是27的因数。这样算起来很简便。如果合起来算，还要先算出那两个数的和，又不是同分母，还要通分，就多了一步。而这一步，其实就用到了乘法分配律。我们还可以用面积模型来解释：

    一个长方形，它的宽为3厘米，长为6厘米。另一个长方形的宽为3厘米，长为1厘米。这两个长方形一共的面积是多少？你可以分别求出来再合在一起。或者可以用乘法分配律。他们有一个共同的数就是三。所以可以直接把长都加到一起，一起乘宽。

  也可以通过一个故事来解释：一个大棚一共有480平方米，其中一半种萝卜，红萝卜的面积占萝卜地的四分之一，问红萝卜地的面积是多少？首先去求出萝卜里的面积是多少，然后再求出红萝卜的面积是多少。先用480×二分之一再乘以四分之一。在这里用乘法也是可以的，因为是这个数的倍数关系，虽然是分数，但也不会引发歧意。但我们也可以用一种更简便的方法——利用乘法分配律。首先先知道红萝卜地的面积，与整个地面积的关系，占整个地面积的几分之一。首先，我们知道萝卜地的面积占整个地面积的二分之一，红萝卜地的面积又占萝卜地的四分之一。1除2除4也就是红萝卜地占整体的几分之一，萝卜地占整个面积的八分之一。然后再用整体的面积480×️八分之一，得到红萝卜地的面积。这样既不会产生分歧，因为分数也可以相乘，又更加简便。

  这么多道题看似完全不一样，其实一共就那么几类，只不过就是变一下条件，当时的情景，万变不离宗。第一类，也是最简单的，知道一个数是多少，求他的几分之几是多少？那也可以理解为这个数的几分之几倍是多少，用乘法。第二类，知道一个数的几分之几是多少，求这个数。这个时候是求整体1，要用除法。通过方程也可以证明。就比如一个数的八分之一是800，求这个数。我们可以把这个数设为X。X的八分之一是八百，也就是八分之一X等于800。如果想让八分之一X变成X，根据以前我们说的一个分数除以和自己一样的分数是1，现在是八分之一X，再让他➗8分之一也就等于X。根据等式的性质800也要÷8分之一才可以。这也就证明了要用除法。或者也可以这样理解。X的八分之一是800，X ×8分之1等于八百，根据乘除狐狸自然就是800÷8分之1等于X。第三类，就是和倍关系。知道，两个数的和，有知道这两个数之间的关系，求这两个数分别是多少？第四类：差倍关系。知道，两个数的差，又知道这两个数的关系，求这两个数分别是多少？这两类都可以用方程来解决。第五类：知道一个数是多少，要知道，这个数比另一个数少几分之几，求这个数。一共就这么几类，千变万化，只要看透他是哪一类就知道方法。

  最后一章是未来发展，因为我们学了这一章之后，不可能就全部学完了，以后还要继续学习，更有难度的东西。比如分数乘负数，我们还没有涉足到，但它确实也属于分数的乘法。现在可以把它当成下一个目标，然后去挑战他了！