请教 关于求函数解析式 的一些问题
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发布时间：2023-03-23 12:45
共4个回答
热心网友
时间：2023-10-14 17:08
换元法：例如，已知f(x+1)=x^2+2,求f(x).解答如下：∵令t=x+1,则x=t-1,代入原式,得：f(t-1+1)=f(t)=(t-1)^2+2=t^2-2t+3，∴f(x)=x^2-2x+3
待定系数法：已知f(f(x))=2x-1,求一次函数f(x)的解析式。解：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=a*f(x)+b=a(ax+b)+b=(a^2)*x+ab+b。由已知：f(f(x))=2x-1得2x-1=(a^2)*x+ab+b
比较系数得{a^2=2,ab+b=-1，解得{a=根号2，b=1-根号2。或a=负根号2，b=1+根号2
∴f(x)=（根号2）x+1-根号2或f(x)=（负根号2）x+1+根号2
配方法：已知f(x+1)=x^2-3x+2,求f(x).解：∵f(x+1)=x^2-3x+2=(x+1)^2-5x+1=(x+1)^2-5(x+1)+6
∴f(x)=x^2-5x+6
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热心网友
时间：2023-10-14 17:08
A=6，则3(-A)²-5(-A)+6的值是
解法：把A的值直接代入方程
②换元法：
求y = x² + 2x + 5 取最小值的根
解法：原方程=(x+1)²+4，令 t = x + 1，所以y = t² + 4， t=0时，即x=-1取最小值
③待定系数法：
二次函数过(0,1),顶点是(4,9),求解析式
解法：设解析式为：y=a(x-4)²+9
把(0,1)代入：16a+9=1 a=-1/2 所以：解析式为：y=-x²/2+4x+1
PS：以上三种都可用来解函数方程，你问的第4个是什么意思？
还有配方法和公式法
热心网友
时间：2023-10-14 17:09
例1.已知f(■+1)=x+2■，求f(x)。
分析：函数的解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。
解：∵f(■+1)=x+2■=(■+1)2-1
(■+11)
∴f(x)=x2-1(x1)
小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“x+2■”变为接受对象“■+1”的表达式，即变为含(■+1)的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。
[题型二]换元法
例2.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)。
分析：视1-cosx为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。
解：设t=1-cosx
∵-1cosx1 ∴01-cosx2 即0t2
∴cosx=1-t
∴sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t
∴f(t)=-t2+2t(0t2)
即f(x)=-x2+2x(0x2)
小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t的取值范围。
②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。
[题型三]待定系数法
例3.设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。
分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。
解：设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)
由f(x+2)=f(2-x)可知，该函数图象关于直线x=2对称
∴-■=2，即b=-4a……①
又图象过点(0，3) ∴c=3……②
由方程f(x)=0的两实根平方和为10，得(-■)2-■=0
即b2-2ac=10a2……③
由①②③解得a=1，b=-4，c=3
∴f(x)=x2-4x+3
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=■(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
[题型四]消元法（代入法）
例4.已知函数y=f(x)满足af(x)+bf(■)=cx，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f(x)的解析式。
分析：求函数y=f(x)的解析式，由已知条件知必须消去f(■)，不难想到再寻找一个方程，构成方程组，消去f(■)得f(x)。如何构成呢？充分利用x和■的倒数关系，用■去替换已知中的x便可得到另一个方程。
解：在已知等式中，将x换成■，得af(■)+bf(x)=■，把它与原条件式联立，得af(x)+bf(■)=cx……①af(■)+bf(x)=■……②
①×a-②×b得(a2-b2)f(x)=c(ax-■)
∵a≠±b ∴f(x)=■(ax-■)(x≠0)
源自我爱北洋大学堂
五．利用给定的特性求解析式：一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
例题5设 是偶函数,当x＞0时, ,求当x＜0时， 的表达式.
练习6．对x∈R, 满足 ,且当x∈[－1,0]时, 求当x∈[9,10]时 的表达式.
六．归纳递推法：利用已知的递推公式，写出若干几项，利用数列的思想从中找出规律，得到f(x)的解析式。（通项公式）
例题6．设 是定义在 上的函数,且 , ，求 的解析式.
有时证明需要用数学归纳发去证明结论。
练习5．若 ,且 ，
求值 .
题7．设 ,记 ,求 .
七．相关点法：一般的，设出两个点，一点已知，一点未知，根据已知找到两点之间的联系，把已知点用未知点表示，最后代入已知点的解析式整理出即可。（轨迹法）
例题7：已知函数y=f(x)的图像与y=x2+x的图像关于点（-2，3）对称，求f(x)的解析式。
练习8．已知函数 ,当点P(x,y)在y= 的图象上运动时,点Q( )在y=g(x)的图象上,求函数g(x).
八．特殊值法：一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式。
源自xhb200822
热心网友
时间：2023-10-14 17:09
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