闭距离的定义

发布网友发布时间：2023-03-23 04:46

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热心网友时间：2023-04-23 20:41

闭距离的定义如下：

对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(m,n).

已知点A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(点O，△ABC)；

(2)记函数y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)=1，直接写出k的取值范围；

(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接写出t的取值范围.

解读：

(1)按题目所给的三个点绘图，得到△ABC，再根据定义来求“闭距离”，如下图：

从图中可知，点O与△ABC的边AB和BC，最短距离为2，而与斜边AC距离超过2，因此d(点O，△ABC)=2；

作为起始小题，难度较低，但这个所谓的低难度也要建立在正确理解“闭距离”基础上；

(2)与上一个小题相比，略作变化，还是那个三角形，现在将定点O换成了经过它的动直线y=kx，这是一条经过原点的直线，影响它位置的只有一个参数k，但加上x取值*后，它就不再是直线了，而是一条经过原点的线段。

当这条线段绕点O转动过程中，位于不△ABC内部，且夹在-1和1之间的区域，就是线段扫过的地方，在题目条件“闭距离”为1的前提下，线段上任意一点距离△ABC的边不能太近，不妨考虑这条线段的两种特殊位置，即分别当k=1或-1时的情况，如下图

线段PQ即符合条件的y=kx上的线段，当k=1时，点P到边AB和BC的距离最小，均为1，当k逐渐增大时，点P会靠近边BC，此时d(G，△ABC)<1，不符合，因此k只能逐渐减小，P点远离BC，而Q点逐渐靠近BC；减小至当k=-1时，点Q到边BC的距离最小