对“十大反直觉的数学结论”的理解

发布网友 发布时间：2023-03-08 21:03

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热心网友 时间：2023-10-09 22:42

看到“十大反直觉的数学结论”。 https://mp.weixin.qq.com/s/pu9rDggFKvBn309Rh2m_iQ ，觉得还是很有趣，写下个人对这些问题的理解。

“生日悖论”利用古典概率的房间模型计算，惊人结果是50个人里面，至少有两个人同月同日(不要求同年)生日的概率超过98%。计算出结果时吓了一跳。

“巴拿赫-塔尔斯基悖论”说明不可测集存在好多病态问题，因此概率空间中三要素之一的 域ℱ 要求必须是建立在可测集基础上，勒贝格的测度在这里有了很好的应用场景。这也是直觉主义者拒绝接受选择公理的原因。

“三门问题”用条件概率一算就OK了。 不好处理的是对样本空间的界定，界定好后，可以得到一个条件概率的表达式，对这个式子再使用bayes公式就可以算出来了。当然，实际在求解的时候还是很让人感到有些不可理解。绝对非常反直觉。

“巴塞尔问题”中，许多级数都能和 π 或 e 关联上，在数学和物理的许多地方，都会出现出现π和e。buff投针中，在平行且等距线的纸上，随意抛一支长度比平行线之间距离小的针，求针和其中一条平行线相交概，居然也出现 π，首次学时简直以为是不是弄错了。这几个著名无理数真是到处都存在。

“阿贝尔不可解定理”让天才伽罗瓦在证明一元五次及以上方程没有一般解析解过程创建了了不起的群论，过程之复杂，多次的同构映射还是自同构让人深深佩服这位少年。

“有不同层次无穷大”康托尔通过但创造性地用集合间原像和像的一一对应来判断其大小（基数比较）并以“势”来量度，解决了无穷集的划分，当然得到自然数集和其真子集素数集是一样大也着实让人吃惊。神来之笔的对角线法则应用及幂集与原集合不是同一个层次的集合观念构成了无穷大的比较。不过，人类目前只找到三个∞。对应的无穷小可以比较，如等价无穷小、高阶无穷小等倒是没有觉得有什么不理解的。

“哥德尔不完备定理”在一阶谓词系统中，将命题变元、逻辑连接词及终止符号压缩到10个符号，然后和0～9一一对应，在形式系统和算数系统中建立同构映射，同构中，关系的映射是把命题变元间的∧、∨、¬、→等运算映射为+、−、×、÷等，逻辑的运算变为算数运算。合式公式变成了自然数的算数运算，这个了不起的 哥德尔配数（编码）有多种对应法则，哥德尔本人是利用素数性质进行的编码。然后算数运算本身按照算数规则运行，同时这个过程又是对应着逻辑运算，这个“自指”的回响总让人感到有些不安。然后应用 对角线引理在算数系统中构造单变量函数，有一个特例得到的结果 “我是不可判定的” ，与 “我在说谎” 这个悖论异曲同工。自我指设，以及让人感到有着神秘上苍安排的对角线引理都让人在抽丝剥茧过程中产生许多困惑，语义和元语义间的跨跳、同一和自指常常让人迷惑。这让排中律不那么让人信服，反证法不那么可靠。形式系统一致性和完备性不可兼得，实在对人类的信心是一个巨大打击。这个定理还和*的《音乐的奉献》也有关系，科学、数学、艺术都是探究世界的语言，这个逻辑的家丑，更在哲学上让人深思。

原题中说的10个问题怎么只有7个🤣