由亲和数谈起:整数的因数个数与因数和问题
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发布时间：2023-03-14 13:09
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时间：2023-10-22 18:14
一、什么是亲和数
在数学上，220和284被称作亲和数（称为相亲数或情侣数也是合适的。单纯从220和284这两个数本身来看，没有任何特殊的地方。但如果把这两个数字连起来看，就会发现很多有趣的现象。
我们可以对整数（本文中的整数都是指正整数）进行分解，分解的方法有加法和乘法。如果用乘法去分解整数，就会产生因数和倍数这两个概念。除完全平方数之外所中盾整数的因数一定是偶数个220的因数有12个，成对写出来的话，分别是：1和220,2和110,4和55,5和44.10和22,11和20.而284虽然比220大，但因数却少得多，只有6个，分别是：1和284,2和142,4和71。如果我们将它们各自所有因数加起来则1+220+2+110+4+55+5+44+10+22+11+20=504,而1+284+2+142+4+71=504。可以发现，220和284所有因数的和是一样的.通过这样的方式，就把这两个数联系在一起了。更进步地，所有整数都有一个特殊的因数，就是这个数本身。在考虑因数的时候，如果不把这个数本身考虑进去，容易发现，220除自己之外的所有因数的和为504-220=284，而284除自己之外所有因数的和为504，284和220至此，才是我们真正可以说220和284是亲和数的时候了。除去自身以外所有的因数之和正好是对方，这在数学上则达到了“你中有我，我中有你”。220和284这样的亲和数是另一种意义上的“一半儿像我，一半儿像你”的浪漫。220和284的这种亲和关系，最早由古希腊的毕达哥拉斯学派发现。相传，有人对毕达哥拉斯的“万物皆数”表示怀疑，向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密。”当然，220和284不是唯一一对亲和数，却是最小的一对。毕达哥拉斯学派曾经尝试再找出一对亲和数，但没有成功。1636年，法国大数学家费马找到了又一对亲和数17296和18416。1638年，笛卡儿发现了更大的一对亲和数9363584和9437056。欧拉经过系统研究，于1750年给出了60对亲和数。但他们都漏掉了220和284后面最小的亲和数1184和1210，这一对数在1866年由当时年仅16岁的意大利数学家帕卡尼尼发现，在计算机的帮助下，目前人们已经找到了4万多对亲和数。其中10万以内的共13对，100万以内的共42对。数学家曾经提出过产生亲和数的公式切。公式较为复杂，本文不再赘述。
与亲和数密切相关的数学概念是整数的因数，需要考虑以下两个与因数相关的问题，如何求一个整数因数的个数？如何计算一个整数所有因数的和？
