求数列 1,3,7,13,21,31,……的前n项和。急~~~

发布网友 发布时间：2023-11-03 07:41

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热心网友 时间：2024-11-18 00:48

答案：n(n^2+2)/3

解：由题目可发现如下规律：
1=1×1-0
3=2×2-1；
7=3×3-2；
13=4×4-3；
21=5×5-4；
31=6×6-5；
…………
所以可得通项an=n^2-(n-1),因此
Sn=a1+a2+……+an
=(1+2^+3^+……+n^2)-(0+1+2+……+(n-1))
=n(n+1)(2n+1)/6-(n-1)n/2
=n(n^2+2)/3

热心网友 时间：2024-11-18 00:49

a1=1
a2=a1+2
a3=a2+4
a4=a3+6
......
an=a(n-1)+2(n-1)
左右分别相加，得：
a1+a2+...+an=a1+a2+...+a(n-1)+[1+2+4+6+...+2(n-1)]

an=1+2+4+6+...+2(n-1)
=1+2[1+2+3+...+(n-1)]
=1+2(1+n-1)(n-1)/2
=1+n(n-1)
=n^2-n+1

平方和公式：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Sn=(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)+n
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n
=n(n+1)/6*(2n+1-3)+n
=n(n+1)(n-1)/3+n
=n/3*(n^2-1+3)
=n(n^2+2)/3

热心网友 时间：2024-11-18 00:49

a2-a1=3-1=2=2*1
a3-a2=7-3=4=2*2
a4-a3=13-7=6=2*3
a5-a4=21-13=8=2*4
...

an-a(n-1)=2*(n-1)

相加相消有

an=a1+2*(1+2+3+...+n-1)=1+(n-1)n=n^2-n+1

Sn=a1+a2+...+an=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+...+n)+n
=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2+n
=n*(n^2+2)/3

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
http://ke.baidu.com/view/892600.htm

热心网友 时间：2024-11-18 00:50

（一）先求通项。易知，a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,a4-a3=2×3,a5-a4=2×4,...an-a(n-1)=2(n-1).累加得：an-1=n(n-1).∴通项an=n²-n+1.(n=1,2,3,...).(二）通项an=n²-n+1.∴Sn=a1+a2+a3+...+an=[1²+2²+3²+...+n²]-[1+2+3+...+n]+n.=[n(n+1)(2n+1)/6]-[n(n+1)/2]+n=(n²+2)n/3.(n=1,2,3,...)

热心网友 时间：2024-11-18 00:51

设数列第n项为an，前n项和为Sn
a2-a1＝2*1
a3-a2＝2*2
。。。
an-a(n-1)＝2*(n-1)
同项相加
an-a1＝2*(1+2+...+(n-1))
所以an=n^2-n+1
Sn=(1^2+2^2+...+n^2)-（1+2+...n）+n
=n*(n+1)*(2n+1)/6-n*(n+1)/2+n

热心网友 时间：2024-11-18 00:51

An-An-1=2*(n-1)
An-1-An-2=2*(n-2)
An-2-An-3=2*(n-3)
~~
A2-A1=2*1所有等式相加得
An-A1=2*(n-1)+2*(n-2)……+2*1
An=n*(n-1)+1
Sn=1*n+1+2*2+3*3+……+n*n-1-2-……-n利用(1+n)立方可以推出平方和公式在此不计算啦，