什么是范数？向量的范数公式是什么11
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发布时间：2023-10-14 18:27
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时间：2024-12-03 21:11
定义1.
设
,满足
1.
正定性:║x║≥0,║x║=0
iff
x=0
2.
齐次性:║cx║=│c│║x║,
3.
三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.
可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.
常用向量范数有,令x=(
x1,x2,…,xn)T
1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得
║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得
定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则
║x(k)-x║→0(k→∞)
iff
xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)
→x(k→∞),或
.
三、
矩阵范数
定义2.
设
,满足
1.
正定性:║X║≥0,║X║=0
iff
X=0
2.
齐次性:║cX║=│c│║X║,
3.
三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4.
相容性:
║XY║≤║X║║Y║
则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.
注意,
矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量
序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩
阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.
定理3.
设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则
║A║=max{║Ax║:║x║=1}=
max{║Ax║/║x║:
x≠0}
是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性
或者说是相容的.
单位矩阵的算子范数为1
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是
1-范数:║A║1=
max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}=
,λ1是AHA的
最大特征值.
∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外还有Frobenius范数:
.它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.
四、
矩阵谱半径
定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称
为A的谱半径.
谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:
ρ(A)≤║A║
因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的
相容性和齐次性就导出结果.
定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)
热心网友
时间：2024-12-03 21:12
向量范数是模概念的推广，特别是高维空间称为范数。向量范数计算方法：
热心网友
时间：2024-12-03 21:12
向量范数
定义:设满足
1. 正定性:║x║≥0,且║x║=0 <=> x=0
2. 齐次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.
热心网友
时间：2024-12-03 21:13
零范数——向量中非0的元素的个数。
关于范数：
函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化，比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射，然后再讨论函数，这是因为函数是映射的一个特例。
为了更好的在数学上表达这种映射关系，（这里特指线性关系）于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个几何（另外一个向量）。
那么向量的范数，就是表示这个原有集合的大小。
而矩阵的范数，就是表示这个变化过程的大小的一个度量。
而0范数则指向量中非0的元素的个数。
