一元二次方程公式
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发布时间：2022-04-29 18:13
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时间：2023-09-19 08:52
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高项的次数和是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
[编辑本段]补充说明：
1、该部分的只是为初等数学知识，一般在初二就有学习。(但一般反比例函数会涉及到一元二次方程的解法) 2、该部分是高考的热点。 3，方程的两根与方程中各数有如下关系：X1+X2= -b/a X1*X2=c/a（也称韦达定理） 4, 方程两根为X1,X2时,方程为:X^2-(X1+X2)X+X1X2=0(根据韦达定理逆推而得) 5. 验根：(b^2)-4ac
[编辑本段]一元二次方程的形式
一般式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0) 例如：x^2+2x+1=0
配方式
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/2a
两根式
a(x-x1)(x-x2)=0
[编辑本段]一般解法
1.配方法
（可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 解：把常数项移项得：x^2+2x=3 等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1）^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当
2.公式法
（可解全部一元二次方程） 其公式为x＝（-b±√（b^2－4ac））/2a 当b^2-4ac＞0时 x有两个不相同的实数根 当b^2-4ac＜0时 x无实数根（初中） 当b^2-4ac=0时 x有两个实数根 即x1=x2
3.因式分解法
（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。 如：解方程：x^2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1）^2=0 解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
（可解部分一元二次方程）
5.代数法
（可解全部一元二次方程） ax^2+bx+c=0 同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0 设：x＝y-b/2 方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)+(by-b^2/2)+c=0 再变成：y^2+(b^2*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
如何选择最简单的解法：
1、看是否可以直接开方解； 2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）； 3、使用公式法求解； 4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。
例题精讲：
1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n 例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解) ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... （2）解： 9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x= ... ∴原方程的解为x1=...,x2= ... 2．配方法： 例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x^2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2 配方：(x-)^2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根） 当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根） 当b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根） 例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。 (4)解：x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
课外拓展
一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax^2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1, x+ =b, x^2-bx+1=0, 他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
[编辑本段]判别方法
一元二次方程的判断式： b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根． b^2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根． b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根（初中可理解为无实数根）． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
[编辑本段]列一元二次方程解题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；一元二次方程 (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．
[编辑本段]经典例题精讲
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
[编辑本段]韦达定理
韦达（Vieta's ，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为*破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事*活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为*破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系 韦达定理(Viete's Theorem）的内容 一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1*X2=c/a 韦达定理的推广 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2…,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 韦达定理的证明 设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。 有:a(x-x1)(x-x2)=0 所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0 通过对比系数可得： -a(x1+x2)=b ax1x2=c 所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a 韦达定理推广的证明 设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。 则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0 所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理） 通过系数对比可得： A（n-1）=-An(∑xi) A（n-2）=An(∑xixj) … A0==(-1)^n*An*∏Xi 所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，∏是求积。
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