高二数学 圆 参数方程
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发布时间：2022-04-28 13:27
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时间：2023-10-10 09:53
右焦点F1（c,0)
则圆的方程：(x-c)^2+y^2=r^2(r为圆的半径）
该圆过椭圆中心，则有：c^2=r^2,c=r
圆的方程变为：（x-c)^2+y^2=c^2
P点是椭圆和圆的交点，PF2直线与圆相切，F2(-c,0)
因为F1F2=2C，PF1=c
所以PF2与X轴的夹角=30度
P的一个纵坐标=c√3/2
过y=c√3/2的PF2的直线方程y=x√3/3+m
代入F2（-c，0）,m=c√3/3
y=(√3/3)(x+c),代入y=c√3/2得到P点的横坐标
x=c/2
P(c/2,c√3/2)满足椭圆方程
b^2c^2/4+3a^2c^2/4=a^2b^2
又，b^2=a^2-c^2
所以，a^2c^2-c^4+3a^2c^2=4a^2(a^2-c^2)
4a^2c^2-c^4=4a^4-4a^2c^2
4e^2-e^4=4-4e^2
e^4-8e^2+4=0
e^2=[8±√(64-4*4)]/2=(√3±1)^2
因为，0<e<1
所以，e=√3-1
2、圆的方程（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
O(a,b)为圆心，r为圆的半径
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
a>b>0,c^2=a^2-b^2,e=c/a(0<e<1)
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1
a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,e=c/a(e>1)
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
抛物线方程：y^2=2px
e=1,焦点坐标（p/2,0)
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时间：2023-10-10 09:54
点P在椭圆上,由椭圆第一定义可知PF1+PF2=2a
所以PF1=2a-PF2=2a-c
又因为直线F1M与圆F2相切,可知三角形F1PF2为直角三角形
所以PF2^2+PF1^2=F1F2^2
即c^2+(2a-c)^2=(2c)^2
所以2a^2-2ac-c^2=0
方程两边同时除以a^2整理得:(c/a)^2+2c/a-2=0
即e^2+2e-2=0
e=-1±√3
又0<e<1
所以e=-1+√3
2.
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时间：2023-10-10 09:53
右焦点F1（c,0)
则圆的方程：(x-c)^2+y^2=r^2(r为圆的半径）
该圆过椭圆中心，则有：c^2=r^2,c=r
圆的方程变为：（x-c)^2+y^2=c^2
P点是椭圆和圆的交点，PF2直线与圆相切，F2(-c,0)
因为F1F2=2C，PF1=c
所以PF2与X轴的夹角=30度
P的一个纵坐标=c√3/2
过y=c√3/2的PF2的直线方程y=x√3/3+m
代入F2（-c，0）,m=c√3/3
y=(√3/3)(x+c),代入y=c√3/2得到P点的横坐标
x=c/2
P(c/2,c√3/2)满足椭圆方程
b^2c^2/4+3a^2c^2/4=a^2b^2
又，b^2=a^2-c^2
所以，a^2c^2-c^4+3a^2c^2=4a^2(a^2-c^2)
4a^2c^2-c^4=4a^4-4a^2c^2
4e^2-e^4=4-4e^2
e^4-8e^2+4=0
e^2=[8±√(64-4*4)]/2=(√3±1)^2
因为，0<e<1
所以，e=√3-1
2、圆的方程（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
O(a,b)为圆心，r为圆的半径
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
a>b>0,c^2=a^2-b^2,e=c/a(0<e<1)
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1
a>0,b>0,c^2=a^2+b^2,e=c/a(e>1)
焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)
抛物线方程：y^2=2px
e=1,焦点坐标（p/2,0)
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时间：2023-10-10 09:54
点P在椭圆上,由椭圆第一定义可知PF1+PF2=2a
所以PF1=2a-PF2=2a-c
又因为直线F1M与圆F2相切,可知三角形F1PF2为直角三角形
所以PF2^2+PF1^2=F1F2^2
即c^2+(2a-c)^2=(2c)^2
所以2a^2-2ac-c^2=0
方程两边同时除以a^2整理得:(c/a)^2+2c/a-2=0
即e^2+2e-2=0
e=-1±√3
又0<e<1
所以e=-1+√3
2.
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时间：2023-10-10 09:54
{x=rcos$
y=rsin$
设A为（cos@R，rsin@）
B（rcos#，rsin#),
Q（rcos$
，rsin$）
矩形ABPQ有，AB=PQ，PA*PB=0，等两个方程，前者带进后者，可以化成rcos$
，rsin$的表达式，再化回来
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时间：2023-10-10 09:54
{x=rcos$
y=rsin$
设A为（cos@R，rsin@）
B（rcos#，rsin#),
Q（rcos$
，rsin$）
矩形ABPQ有，AB=PQ，PA*PB=0，等两个方程，前者带进后者，可以化成rcos$
，rsin$的表达式，再化回来
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时间：2023-10-10 09:55
设A(x1,y1),B(x2,y2)设Q（x，y）
根据矩形的对角线互相平分有：（x1+x2）/2=(x+a)/2,(y1+y2)/2=(y+b)/2;
故x1+x2-a=x，y1+y2-b=y
由于PQ=AB，所以（x-a）^2+(y-b)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
又A,B均在圆上x1＾2+y1＾2＝r＾2;x2＾2+y2＾2＝r＾2;
上式可化为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2x1x2-2y1y2;
PA⊥PB
,则（y1-b）/(x1-a)*(y2-b)/(x2-a)=-1;
化简可得
x1x2+y1y2=a(x1+x2-a)+b(y1+y2-b)=ax+by
故而Q的轨迹为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2ax-2by
即：x^2+y^2=2r^2-a^2-b^2
Q的轨迹也是个圆（注意，p在圆内，2r^2-a^2-b^2>0）
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时间：2023-10-10 09:55
设A(x1,y1),B(x2,y2)设Q（x，y）
根据矩形的对角线互相平分有：（x1+x2）/2=(x+a)/2,(y1+y2)/2=(y+b)/2;
故x1+x2-a=x，y1+y2-b=y
由于PQ=AB，所以（x-a）^2+(y-b)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
又A,B均在圆上x1＾2+y1＾2＝r＾2;x2＾2+y2＾2＝r＾2;
上式可化为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2x1x2-2y1y2;
PA⊥PB
,则（y1-b）/(x1-a)*(y2-b)/(x2-a)=-1;
化简可得
x1x2+y1y2=a(x1+x2-a)+b(y1+y2-b)=ax+by
故而Q的轨迹为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2ax-2by
即：x^2+y^2=2r^2-a^2-b^2
Q的轨迹也是个圆（注意，p在圆内，2r^2-a^2-b^2>0）
