2的x次方是有理式还是无理式

发布网友发布时间：2022-04-28 17:00

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热心网友时间：2022-06-19 20:49

当 x 是整数，2^x 为有理数；

当 x 不是整数，2^x 为无理数；

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证明：

1）当 x 是整数，很明显 2^x 不是[整数]就是[分数]，因此是有理数；

2）当 x 是无理数，2^x 是[超越数]（详见维基百科 zh.wikipedia.org/wiki/超越数）

任何[超越数]都是[无理数]，所以 2^x 也是无理数

3）当 x 是分数，设 x=p/q （p, q 为非零整数，且 p/q 不是整数）

假如 2^x 是有理数，则：

（m, n 为非零整数，且 m/n 是最简比形式）

因此，2能整除m^p，即2能整除m，所以设 m=2m'，得：

1、如果 p-q<0，则同乘 2^(p-q)，得：

因此，m和n有公因数2，即 m/n 不是最简比，与假设矛盾，所以 2^x 只能是无理数

2、如果 p-q>0，则 2能整除 m‘，于是设 m’=2m''，得：

继续这个过程，直到 p-rq < 0 (r是正整数)

此时与1、的情况相同，得出 2 整除 n，矛盾

因此如果 x 为分数，则 2^x 为无理数

证毕

热心网友时间：2022-06-19 20:50

肯定是无理式。
有理式是整式和分式的统称。是指类似a1x^n+a2x^(n-1)+a3x^(n-2)+……+an
x+a(n+1)+a(n+2)/x+a(n+3)/x^2……的式子。其中a(n+2)=a(n+3)=……=0时，为整式。而a(n+2),a(n+3)……不等于0时，为分式。如x+1,x^2+1,x/x+1那类。你那2^x是字母为指数，而有理式中的字母是不能做指数的。所以2^x是无理式，同时也是超越式，不是代数式了。
当x为log2(有理数)时，2^x是有理数，而x为log2(无理数)时，2^x是无理数。
楼下貌似弄的是有理数和无理数。有理数和有理式以及无理数和无理式之间是有区别的。有理数和无理数是指数，而有理式和无理式指的是式。