向量的运算,具体过程

发布网友 发布时间：2022-04-28 15:30

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热心网友 时间：2022-06-19 10:54

向量：在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母（a、b、u、v），或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

向量的模

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

注：1．向量的模是非负实数，是可以比较大小的。向量a=(x,y)，。

2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。

运算

设a=（x，y），b=(x1，y1)。

加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。

a+b=(x+x1，y+y1)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').

如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

交换律：a+(-b)=a-b

数乘

实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

需要注意的是：向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则。

数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉（依定义有：cos〈a,b〉=a·b / |a|·|b|）；若a、b共线，则a·b=±∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的数量积的运算律

a·b=b·a（交换律）

(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。

2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

3．|a·b|与|a|·|b|不等价

4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。

向量积

定义：两个向量a和b的向量积

向量的几何表示

（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”）。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：运用三阶行列式

设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

A=(x1,y1,z1)B=（x2,y2,z2）则A*B=

a b c

x1 y1 z1

x2 y2 z2

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a平行b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=－b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.

（a+b）×c=a×c+b×c.

上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

如：a×（2b）=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的！

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

热心网友 时间：2022-06-19 10:54

热心网友 时间：2022-06-19 10:55