关于指数型函数、对数型函数的问题！有追加！！22
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发布时间：2023-10-09 02:33
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时间：2024-10-20 12:34
2．通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
3．培养学生从特殊到一般的概括能力．
教学重点与难点
函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定．
教学过程设计
师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映．让我们看看下列各函数有什么共性？
（幻灯．翻折片．）
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性（图1）．
生：函数f（x）=x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f（x）
的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y轴对称．
师：那么究竟什么叫关于y轴对称？
生：从初中所学的轴对称概念可知，如果图形F与F′关于y轴对称，那么把图形F沿y轴折过来，一定与图形F′重合．
师：（幻灯演示）将f（x）=x2在y轴右侧的图象，沿y轴折过来，我们发现它与左侧的图象重合了，这说明我们刚才的观察结果是正确的．既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
（幻灯演示）我们在函数f（x）=x2位于y轴右侧的图象上任取一点（x，f（x）），通过沿y轴对折找到其关于y轴的对称点（x′，f（x′））．同学们由图象观察一下，这两个点的坐标有什么关系？
生：x=-x′，f（x）=f（x′）．也就是说，当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值相等．
师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？
生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．
（当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补充．）
师：下面我们来分析一下这个定义．定义中“任意一个x∈D，都有f（-x）=f（x）成立”说明了什么？
生：这说明f（-x）与f（x）都有意义，即-x，x同时属于定义域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的．
师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？
生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件．
师：那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义．
生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好相等．
师：下面我们看几个习题．
（幻灯）
1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）f（x）=x2，x∈[-1，2]；
生：函数f（x）=x2，x∈[-1，2]不是偶函数．因为它的定义域关于原点不对称．
1}，并不关于原点对称．
（对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x2，进而化简成f（x）=x2，从而得出该函数是偶函数的错误结论．）
（多重复合幻灯）
2．判断下列图象（图2）是否是偶函数的图象？
师：首先，我们取几对相反数检验一下（复片1）．当自变量取±1这对相反数时，对应的函数值f（1）与f（-1）恰好相等；当自变量取±3这对相反数时，对应的函数值f（3）与f（-3）也恰好相等；当自变量取±4时，也得到了相同的结果．类似的相反数还可以举出很多对．由此，是否就能判断该图象是偶函数的图象呢？
（有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完
意见后，教师总结．）
师：当自变量取±2这对相反数时，我们观察到f（2）与f（-2）并不相等，这就违背了偶函数定义中，自变量取值的任意性，即不能使函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），所以该图象不是偶函数的图象．
同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什么共性？
（幻灯．旋转片）
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称．
师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？
生：从初中所学的中心对称概念可知，所谓图形F与F′关于原点对称，就是把图形F在它们所在平面上绕着原点旋转180°，一定能与图形F′重合．
师：（幻灯演示）将f（x）=x3在第一象限内的图象，绕着原点旋转180°，我们发现它与f（x）=x3在第三象限内的图象重合了．这说明我们刚才的观察结果是正确的．那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢？
生：一对关于原点对称的点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对应的函数值也互为相反数．
师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？
生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．
师：定义中“任意一个x∈D，都有f（-x）=f（x）成立”说明了什么？
生：这说明f（-x）与f（x）都有意义，即-x，x同时属于定义域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的．
师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．那么这个定义的实质是什么呢？
生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函数值也互为相反数．
师：我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数，既非奇非偶的函数，那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？
生：有．函数f（x）=0，x∈R就是一个．
师：那么这样的函数有多少个呢？
生：只有函数f（x）=0，x∈R一个．
师：再想一想．函数的三要素是什么呢？
生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域．
师：对．可见三要素不同的函数就是不同的函数．
生：既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．虽然解析式都为f（x）=0，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的函数，例如：f（x）=0，x∈[-3，-1]∪[1，3]；f（x）=0，x∈[-5，-2]∪[-2，-5]等等．
师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数．
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=lg（4+x）+lg（4-x）；
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f（-x）是否等于f（x）或-f（x）．
解 （1）f（x）的定义域是{x|4+x＞0且4-x＞0}={x|-4＜x＜4}，它具有对称性．
因为
f（-x）=lg（4-x）+lg（4+x）=f（x），
所以f（x）是偶函数，不是奇函数．
（2）解法一：当x＞0时，-x＜0，于是
当x＜0时，-x＞0，于是
综上可知，在R-∪R+上，g（x）是奇函数．
数g（x）在R-∪R+上是奇函数．
例2 设F（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，F（x）的解析式是ex，求F（x）在R上的表达式．
解 任取x∈（-∞，0），设P（x，y）是函数F（x）图象上的一个点．由于F（x）是奇函数，所以，其图象关于原点对称（图5）．因此P′（-x，-y）必然也是F（x）图象上的一个点．由于-x＞0，此时P′（-x，-y）必满足解析式y=ex，即
-y=e-x→y=-e-x．
上式就是点P（x，y）的坐标满足的关系式，即x＜0时F（x）的解析式．
当x=0时，F（-0）=-F（0），即F（0）=0．所以奇函数
（今后遇到函数奇偶性这类的问题时，要善于选择恰当的方法，“定义法”是基本方法．）
练习（幻灯） 判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
1．f（x）=x2+3，x∈[-10，20]；
2．f（x）=x3+x，x∈[-2，2）；
3．f（x）=0，x∈[-6，-2]∪[2，6]；
5．f（x）=|x-2|+|x+2|；
6．f（x）=|x-2|-|x+2|；
7．f（x）=5；
生：1．f（x）=x2+3，x∈[-10，20]的定义域关于原点不对称，因此是非奇非偶函数．
2．f（x）=x3+x，x∈[-2，2）的定义域关于原点也不对称，因此是非奇非偶函数．
3．f（x）=0，x∈[-6，-2]∪[2，6]是既奇且偶函数．这是因为f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函数．
定义域关于原点也对称，所以是奇函数．
5．f（x）=|x-2|+|x+2|是偶函数．这是因为f（-x）=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f（x），且x∈R，所以是偶函数．
6．f（x）=|x-2|-|x+2|是奇函数．这是因为f（-x）=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-（|x-2|-|x+2|）=-f（x），且x∈R，所以是奇函数．
7．f（x）=5是偶函数．这是因为f（-x）=5=f（x），且x∈R，所以是偶函数．
R，所以是奇函数．
师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的单调性加以区分．我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件．
作业
课本P52练习第2题，P59习题五第8，9，10题．其中第10题加一问“为什么？”
补充题：
1．设f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1-x）．试问：当x＜0时，f（x）的表达式是什么？
（解 当x＜0时，-x＞0，所以f（-x）=-x（1+x）．又因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）．）
2．若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在[-7，-3]上是 [ ]．
A．增函数且最小值为-5
B．增函数且最大值为-5
C．减函数且最小值为-5
D．减函数且最大值为-5
（答 B．）
课堂教学设计说明
我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数的图象关于原点或y轴对称的特征来判断它的奇偶性．反过来，我们若已知一个函数的奇偶性，也可以推断它在整个定义域内的图象和性质．可见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系．所以，我没有一上来就给出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察中寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识．为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，再提示学生“具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？”然后，引导学生表述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力．最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．
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时间：2024-10-20 12:35
g(x)
是偶函数，f(x)是偶函数
g(x)
是奇函数，f(x)既不是奇函数也不是偶函数
a>1,
g(x)递增，f(x)递增
0<a<1,g(x)递减，f(x)递减
a>1,
如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(c)<f(x)<a^g(b)
0<a<1,如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(b)<f(x)<a^g(c)
对数型函数：f(x)=loga[g(x)]
g(x)>0
g(x)
是偶函数，f(x)是偶函数
g(x)
是奇函数，g(-x)=-g(x)<0,所以在x的定义域内是不存在g(x)是奇函数的函数。f(x)非奇非偶
a>1,
g(x)递增，f(x)递增
0<a<1,g(x)递减，f(x)递减
a>1,
如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(c)<f(x)<a^g(b)
0<a<1,如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(b)<f(x)<a^g(c)
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时间：2024-10-20 12:36
g(x) 是偶函数，f(x)是偶函数
g(x) 是奇函数，f(x)既不是奇函数也不是偶函数
a>1, g(x)递增，f(x)递增
0<a<1,g(x)递减，f(x)递减
a>1, 如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(c)<f(x)<a^g(b)
0<a<1,如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(b)<f(x)<a^g(c)
对数型函数：f(x)=loga[g(x)] g(x)>0
g(x) 是偶函数，f(x)是偶函数
g(x) 是奇函数，g(-x)=-g(x)<0,所以在x的定义域内是不存在g(x)是奇函数的函数。f(x)非奇非偶
a>1, g(x)递增，f(x)递增
0<a<1,g(x)递减，f(x)递减
a>1, 如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(c)<f(x)<a^g(b)
0<a<1,如果g(c)<g(x)<g(b),则a^g(b)<f(x)<a^g(c)
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时间：2024-10-20 12:37
y=a*b^f（x）,b不等于1, 一般的指数型函数没什么奇偶。除非f(x)本身是偶函数。y才会是偶函数。
单调性同f（x）的单调性。值域看f（x)的值域（m，n）那么y=（a*b^m,a*b^n)
对数型函数，为
y=loga (f(x))
对数型函数的奇偶比较复杂，如果f(x)为偶函数，显然y为偶函数。
如果f(x)=1/f(-x),那么y为奇函数（带入不难验证）。
单调性同f（x), 注意定义域为{x|f(x)>0}
值域看f（x)的值域（m，n），如果m>0 那么y=（log a f(m), log a f(n))
如果m<0 那么y=（负无穷 ,log a f(n))
