第一特征函数
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发布时间：2022-04-27 04:44
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时间：2022-06-26 10:33
特征函数具有以下基本性质：
如果两个随机变量和具有相同的特征函数，医学教|育网搜集整理那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同（显然）。
独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积
特征函数
研究概率论极限理论的一种重要的分析工具.若ξ是定义在(Ω，F，P)上的随机变量，F(x)是它的分布函数，称函数
φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxdF(x)，
(-∞<t<+∞， i=)
为随机变量ξ(或分布函数F(x))的特征函数.如果ξ是离散型随机变量，P(ξ=xk)=pk (k=1，2，…)，则其特征函数
φ(t)=Eeitξ＝eitxkpk.
如果ξ是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，则ξ的特征函数
φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxp(x)dx.
可知，φ(t)是p(x)的傅里叶变换.
随机变量的特征函数总是存在的，它对一切t有定义，一般是实变量的复值函数.
特征函数具有如下性质：
1.有界性：|φ(t)|≤φ(0)=1 (-∞<t<+∞).
2.一致连续性：φ(t)在整个实轴上一致连续.
3.非负定性：对于任意n≥1，任意实数t1，t2，…，tn和任意复数z1，z2，…，zn，有
φ(tj-tk)zjz–k≥0.
4.φ(-t)=.
5.设η=aξ+b，其中a，b为任意实数，则

6.设ξ和η是相互独立的随机变量，则

一般地，若ξ1，ξ2，…，ξn相互独立，则
φξ1+…+ξn(t)=φξ1(t)…φξn(t).
7. 如果ξ有n阶原点矩，则它的特征函数φ(t)有n阶导数;并且φ (k)(0)=ikEξk (k=1，2，…，n).反之，若φ (2n)(0)存在，则ξ具有2n阶原点矩.
8.若实随机变量的特征函数φ(t)具有幂级数展开式
φ(t)= (-r<t<r)，
称φ是r解析的.记其相应的分布函数为F，则下述诸条件等价：
1.φ是r解析的.
2.φ(t)=αj(it)j/j! (-r<t<r)，
其中αj＝∫+∞-∞xjdF(x).
3.α2jt2j/(2j)!<+∞ (0<t<r).
4.∫et|x|dF(x)<+∞ (0<t<r).
当特征函数r解析时(r>0)，其分布函数由其矩序列惟一决定.如果特征函数φ(t)与母函数p(θ)及矩母函数M(t)都存在，则它们有如下关系：

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