双曲正弦函数是怎么求出来的?
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发布时间：2022-04-27 06:00
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时间：2022-06-27 07:10
在数学中,双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）.基本双曲函数是双曲正弦“sinh”,双曲余弦“cosh”,从它们导出双曲正切“tanh”等.也类似于三角函数的推导.反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推.因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中,譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量.在复分析中,它们简单的是指数函数的有理函数,并因此是完整的.
射线出原点交双曲线
x2
−
y2
=
1
于点
(cosh
a,sinh
a),这里的
a
被称为双曲角,是这条射线、它关于
x
轴的镜像和双曲线之间的面积.定义
双曲函数（Hyperbolic
Function）包括下列六种函数：sinh
/
双曲正弦：sinh(x)
=
[e^x
-
e^(-x)]
/
2
cosh
/
双曲余弦：cosh(x)
=
[e^x
+
e^(-x)]
/
2
tanh
/
双曲正切：tanh(x)
=
sinh(x)
/
cosh(x)=[e^x
-
e^(-x)]
/
[e^x
+
e^(-x)]
coth
/
双曲余切：coth(x)
=
cosh(x)
/
sinh(x)
=
[e^x
+
e^(-x)]
/
[e^(x)
-
e^(-x)]
sech
/
双曲正割：sech(x)
=
1
/
cosh(x)
=
2
/
[e^x
+
e^(-x)]
csch
/
双曲余割：csch(x)
=
1
/
sinh(x)
=
2
/
[e^x
-
e^(-x)]
其中,e是自然对数的底
e≈2.71828
18284
59045...=
1/0!+
1/1!+
1/2!+
1/3!+
1/4!+
1/5!...+
1/n!+...e^x
表示
e的x次幂,展开成无穷幂级数是:e^x=x^0/0!+
x^1/1!+
x^2/2!+
x^3/3!+
x^4/4!+
x^5/5!...+
x^n/n!+...如同点
(cost,sint)
定义一个圆,点
(cosh
t,sinh
t)
定义了右半直角双曲线
x^2
−
y^2
=
1.这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t)
-
sinh^2(t)
=
1
和性质
t
>
0
对于所有的
t.参数
t
不是圆角而是双曲角,它表示在
x
轴和连接原点和双曲线上的点
(cosh
t,sinh
t)
的直线之间的面积的两倍.函数
cosh
x
是关于
y
轴对称的偶函数.函数
sinh
x
是奇函数,就是说
-sinh
x
=
sinh
-x
且
sinh
0
=
0.
