证明不存在平方为12的有理数4
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发布时间：2023-10-05 05:06
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时间：2024-11-14 15:45
法一:(反证法)设有理数a/b=根号3,则a^2=3b^2,所以3整除a^2,因为3是质数,所以3整除a,可设a=3c^2,则9c^2=3b^2,b^2=3c^2,所以3整除b,即b和a有公约数3,矛盾.所以根号3是无理数.
法二:（方程法）要证根号3是无理数,只须证明方程x^2=3没有有理根即可.显然,平方数列1,4,9,16,……里没有3，所以x^2=3没有整数解。又因为即约分数的平方仍然是即约分数，即分子分母没有除1以外的公约数，由于3是整数不是分数，所以x^2=3没有分数解。故根号3不是有理数。
法三：（方程论）由牛顿有理根定理，若有理数a/b是方程x^2-3=0的根。则有a整除3，b整除1，由于b是整数，所以b=1,所以a^2=3显然这不成立，因为a是整数，命题得证。
法四：假设如上，有a^2=3b^2,由算术根本定理，[a1]^2*[a2]^2*……*[am]^2=3*[b1]^2*[b2]*……*[bn]^2，其中a1,a2,……，am和b1,b2,……,bn 都是质数。观察等式左边3为偶次幂，右边3为奇次幂，这是矛盾。
法五：假设同法四，观察等式左边所以因子指数和为偶数，右边为奇数，因子可重复计算，这又是矛盾。
法六：（三角函数法），有定理如下：若角θ=kα(k是有理数）满足cosnθ为整数，则cosθ只能是0,±1，±1/2或无理数。由于cosπ/6=√3/2,cosπ=-1为整数，且cosπ/6不等于0,±1，±1/2，所以√3/2是无理数，所以根号3也是无理数。
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时间：2024-11-14 15:46
即A^2=12
设p=1/2A（有理数的乘积也为有理数）则p为有理数
则4p^2=12
p^2=3
p=根号3，与p为有理数矛盾
所以,不存在平方为12的有理数
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时间：2024-11-14 15:46
