一个群论问题

发布网友发布时间：2022-04-27 05:55

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热心网友时间：2022-06-27 05:48

[找到了一个简单的做法，居然没想到……]

设[H:G]=r，且t(1), ..., t(r)是H在G中的一组右陪集代表元，其中t(1)=e。任取G中元素g，任取一个i（1≤i≤r），则存在唯一的j（记作g(i)），使得
H*t(i)*g = H*t(j)
从而存在唯一H中的元素h(i,g)，使得
t(i)*g = h(i,g)*t(g(i))
容易验证，i → g(i) 是G在{1,...,r}上的一个作用，即：
g'(g(i)) = gg'(i)

设X是G的生成元集合，另作集合Y，由X中各元素的逆组成。于是X、Y是有限集合，并且G中的任意元素都能表示为X∪Y中元素的有限乘积。特别地，对H中的任意元素a，存在X∪Y中的元素y_1, ..., y_s，使得
a = y_1y_2...y_s
于是
a = t(1)a = t(1)y_1...y_s = h(1,y_1)t(y_1(1))y_2...y_s
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)t(y_1y_2(1))y_3...y_s = ...
= h(1,y_1)h(y_1(1),y_2)...h(y_1...y_{s-1}(1),y_s)t(a(1))
但是Ha=H，故t(a(1)) = t(1) = 1
这就说明了H中的任意元素a均可表为以下集合中元素的有限积：
{h(i,x)|1≤i≤r, x∈X∪Y}
这是一个有限集，即证

参考资料：GTM 80，1.6.11

热心网友时间：2022-06-27 05:49

如果加一个条件，G是Abel的，可能好做一点。