用A4纸制作最大的无盖长方体

发布网友 发布时间：2022-04-29 02:27

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热心网友 时间：2022-06-28 17:21

当剪去小正方形的边长越来越接近10/3cm(即原大正方形边长的1/6倍时)，所折成的无盖长方体的体积越来越大

.小正方形边长的范围 小正方形的边长 长方体的体积加细数据无限*近.

需要四角挖去四个小正方形 设挖的正方形边长为X
原正方形边长为A
则 长方体体积为 V＝（A－2X）平方*X
V＝4*X三次方－4A*X平方＋A平方*X
求导 其导数为 12X平方－8A*X＋A平方
在0到A/6递增 A/6到A/2递减 所以取A/6时最大
此时长方体体积为1/27A的三次方

1.研究内容
用20cm×20cm的纸,剪去四角各一个正方形(相同)拼成一个长方体无盖盒子，剪去的正方形边长是几时拼成的长

方体无盖盒子体积最大。

2.研究方法
函数，导数

3.研究过程
设剪去正方形的边长为l，则折成长方体的体积为：
V = (20 - 2l) * (20 - 2l) * l
= 4l^3 - 80l^2 + 400l
求导数得V' = 12l^2 - 160l + 400 = 4(3l^2 - 40l + 100)
令V' = 0，解得l = 10/3 或 l = 10
由此可知V(l)在10/3cm和10cm处有局部极值
V(10/3) = 16000/27 (约529.6cm3)
V(10) = 0
由此可知，最大体积在l=10/3cm时得到，最大体积值约为529.6cm3。

4.研究成果
最大体积在l=10/3cm时得到，最大体积值约为529.6cm3。

5.收获与反思
函数的导数可以用于求最大/最小值。

结论：当剪去小正方形的边长越来越接近10/3cm(即原大正方形边长的1/6倍时)，所折成的无盖长方体的体积越

来越大.

小正方形边长的范围 小正方形的边长 长方体的体积

加细数据 无限*近

课题学习
1.做一做
（1）
剪掉正方形边长 长方体的容积
1厘米 324立方厘米
2厘米 512立方厘米
3厘米 588立方厘米
4厘米 576立方厘米
5厘米 500立方厘米
6厘米 384立方厘米
7厘米 252立方厘米
8厘米 128立方厘米
9厘米 36立方厘米
10厘米 0立方厘米
（2）
我发现了当剪掉小正方形的边长为10厘米时长方体的容积最小，剪掉小正方形的边长为3厘米时长方体的容积最

大。
（3）
当小正方形边长取3厘米时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是588立方厘米。

2. 做一做
（1）
剪掉正方形边长 长方体的容积
0.5厘米 180.5立方厘米
1.0厘米 324立方厘米
1.5厘米 433.5立方厘米
2.0厘米 512立方厘米
2.5厘米 562.5立方厘米
3.0厘米 588立方厘米
3.5厘米 591.5立方厘米
4.0厘米 576立方厘米
4.5厘米 544.5立方厘米
5.0厘米 500立方厘米
5.5厘米 445.5立方厘米
6.0厘米 384立方厘米
…… ……

（2）
我发现了当剪掉小正方形的边长为0.5厘米时长方体的容积最小，剪掉小正方形的边长为3.5厘米时长方体的容

积最大。而且剪掉正方形边长为整数时，长方体的容积也是整数，剪掉正方形边长为小数时，长方体的容积也

是小数。
（3）
当小正方形边长取3.5厘米时，所得的无盖长方体的容积最大，此时无盖长方体的容积是591.5立方厘米。