求三角形ABC面积的最大值。
发布网友
发布时间：2022-04-29 01:39
共2个回答
热心网友
时间：2022-06-27 19:25
由正弦定理，a/sinA=c/sinC=2R，即a=2RsinA，c=2RsinC，
A+B+C=π ==> A+C=π-B
2R(sinA*sinA-sinC*sinC)=(√a-b)sinB
2R(sinA-sinC)(sinA+sinC)=(√a-b)sinB
(2RsinA-2RsinC)*2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=(√a-b)sinB
(a-c)*2sin[(π-B)/2]cos[(A-C)/2]=(√a-b)*2sin(B/2)cos(B/2)
2(a-c)sin[(π/2)-(B/2)]cos[(A-C)/2]=2(√a-b)sin(B/2)cos(B/2)
2(a-c)cos(B/2)cos[(A-C)/2]=2(√a-b)sin(B/2)cos(B/2)
两边同除以2(√a-b)cos(B/2)，得：
sin(B/2)=(a-c)cos[(A-C)/2]/(√a-b)
令t=cos[(A-C)/2]，则：sin(B/2)=t(a-c)/(√a-b)
令x=sin(B/2)=t(a-c)/(√a-b)，y=cos(B/2)，则：y=√(1-x^2)。
（√表示根号，√()表示对括号里的代数式开平方，x^2表示x的平方，下同）
由A、B、C∈(0，π)可推出：
[(A-C)/2]∈(-π/2，π/2)，因此t=cos[(A-C)/2]∈(0，1]
B/2∈(0，π/2)，因此x=sin(B/2)∈(0，1)、y=cos(B/2)∈(0，1)
设△ABC的面积为S，则：
S=(acsinB)/2=[ac*2sin(B/2)cos(B/2)]/2=acxy=acx√(1-x^2)
而x√(1-x^2)=√[x^2(1-x^2)]≤(x^2+1-x^2)/2=1/2，即：S≤ac/2
仅当x^2=1-x^2，即x=√2/2时，上述不等式等号成立。
此时由sin(B/2)=x=√2/2，B/2∈(0，π/2)可求得：B=π/2。
就是说当△ABC是B=π/2的直角三角形时，面积S有最大值，S=ac/2
将c用a、b表示，b是斜边，因此c=√(b^2-a^2)
B=π/2时，△ABC面积最大值为：S=ac/2=[a√(b^2-a^2)]/2。
另外由t(a-c)/(√a-b)=sin(B/2)=√2/2可得t=cos[(A-C)/2]=(√a-b)/[(a-c)√2]，
即A-C=±2arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}，而A+C=π-B=π/2，则可求出A、C角的大小：
A=π/4+arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}、C=π/4-arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}，
或：A=π/4-arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}、C=π/4+arccos{(√a-b)/[(a-c)√2]}，（其中c=√(b^2-a^2)）
从而确定出△ABC面积最大时直角三角形的具体形状。
热心网友
时间：2022-06-27 19:25
