概率论随机变量密度函数问题
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发布时间：2022-04-20 04:30
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时间：2023-09-02 19:13
所以依概率特征函数有f(t)=E[exp{jtX(t)}]=∫(-∞↗+ ∞)exp{jtx}f(x)dx,①
故f(t)=E[exp{Acos(wt+θ)}]=∫(-∞↗+ ∞)exp{jtAcos(wt+θ)}f(θ)dθ
=[1/(2π)]∫(-π↗+ π)exp{jtAcos(wt+θ)}dθ=[1/(2π)]∫(-π+wt↗ π+wt)exp{jtAcosy}dy.
依积分性质，若f(t)是周期为T的周期函数，则∫(-t/2+A↗ T/2+A)f(t)dt=∫(-t/2↗ T/2)f(t)dt;
故f(v)=[1/(2π)]∫(-π↗ π)exp{jtAcosy}dy=∫(-A↗ A)exp{jtA}(dx)/(π√a²-x²) , ②
比较①和②得X(t)的概率密度函数是f(x)={1/(π√a²-x²) ,|x|<A;0,其他。
依定义X（θ）的期望=E[Acos(wt+θ)]=[1/(2π)]∫(-π↗ π)Acos(wt+θ)}dθ=0；
X（θ）的方差=a²E[cos(wt1+θ)cos(wt2+θ)]=a²[1/(2π)]∫(-π↗ π)[cos(wt1+θ)cos(wt2+θ)]dθ
=(a²/2) [cosw(t2-t1)].
2.令t1=t2=t,则X（θ）的方差=(a²/2) ；于是随机变量X(t1)与X(t2)的协方差=D[X(t)]
=E{[X(t)-X(θ)的期望]²}=E [X²(t)]-0=a²/2.
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时间：2023-09-02 19:14
Fx(x)=P(X<=x)={2π-arccos(x/A)-arccos(x/A)}/2π=1-arccos(x/A)/π
fx(x)=(1/Aπ)(1-(x/A)²)^(-0.5) (-A<x<A)
因为波上下随机波动，期望必然是波的中轴 E(X)=0
或
E(X)=∫(-A~A){x(1-(x/A)²)^-0.5 }(1/Aπ) dx={-(1-(x/A)²)^0.5 |x=-A~A} *(A/π)=0
E(X²)=∫(-A~A){x²(1-(x/A)²)^-0.5 }(1/Aπ) dx
=∫(-A~A) A²{(1-(x/A)²)^0.5-(1-(x/A)²)^-0.5}(1/Aπ) dx
=0.5A²
D(X)=0.5A²
2 若t1-t2不等于wt,相互独立，协方=0
否则，协方=方差
二
fy=∫fxy dx=3/2
fx|y=fxy/fy=2x²
E(X|Y=0.5)=∫(0.5~1) x*2x dx= (2/3)(1-1/8)=14/24=7/12
E(X²|Y=0.5)=∫(0.5~1) x²2x=(2/4)(1-1/16)=15/32
D(X|Y=0.5)=15/32-49/144=37/288
