质心动量定理的推导是什么,要具体步骤
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发布时间：2022-04-29 05:53
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时间：2022-06-20 04:19
外力：外界对质点系内质点的作用力。
内力：质点系内诸质点间的相互作用力，性质：内力的矢量和为零（不是平衡力系）。
质点系的动量：质点系诸质点的矢量和。
推导：对于第i个质点：
,
(
)
质点系动量的变化是由外力引起的：
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和，即：
(1)
这就是质点系动量定理。
是各质点的动量，
是各质点外力的矢量和。
(1)式在直角坐标系中的投影式为：
(2)
由(1)式可得：
(3)
即：质点系外力的元冲量的矢量和等于动量的微分。
用
和
分别表示t0和t时质点系的动量，对(3)式两端积分得：
(4)
(4)式表明：在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质点系外力的矢量和在这段时间内的冲量——冲量表示的质点系的动量。
二．
质心运动定理
由质点系动量定理
：
，
表示各质点的位置。
,
设
表示质点系的总质量，则：
(5)
定义：
(6)
直角坐标系中的投影：
若质点是连续的，则：
(7)
(6)式或(7)式所确定的空间点和质点系密切关联，叫做质点系的质量中心，简称质心。
表示质心的位置矢量，
表示质心坐标，是质点系质量分布的平均坐标，即：以质量为权的平均坐标。
所以：质点系的动量：
即：体系的动量等于质心的动量。
另外，用
表示质心加速度，则(5)式可以写作：
(8)
这就是质心运动定理，直角坐标系中的投影式为：
(9)
(9)式表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。
注：内力不影响质心的运动状态。
(8)式或(9)式和牛顿第二定律的形式一样，可知：把实际物体抽象为质点并运用牛顿第二定律，是只考虑物体质心的运动而忽略各质点围绕质心的运动和各质点间的相对运动。——质点模型方法的实质。
即：在质点动力学中，我们所研究的“质点”，其实就是物体的“质心”。
质心运动定理的局限性：仅给出质心加速度，未对质点系作全面描述。
三．
质点系相对于质心系的动量
1．
质心系：以质点系的质心为原点，坐标轴与基本参考系平行，这种参考系又叫质心参考系。
2．
质点系相对于质心系的动量：设mi表示质点系中各质点的质量，
表示质点系诸质点相对于质心系的速度，质点相对于质心系的动量为
，则：
而：
表示质心系中质心位置矢量，
，故：
即：质点系对质心参考系的总动量为零
