已知函数f(x)=x²+2mx+2, x∈[-5,5]

发布网友 发布时间：2022-04-28 21:10

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热心网友 时间：2022-06-23 05:21

这是一道区间上
二次函数
的
最值问题
。先说遇到这一类题，思路都是固定的，就是先找“三要素”：开口方向、
对称轴
、
自变量
的范围，然后画图。
这个函数的“三要素”：开口向上（因为x²系数是正的），对称轴x=-m（不固定，随着m变化而移动），自变量的范围[-5,5]是固定的。
然后想想图象，这是个向上开口的
抛物线
，有个最低点，在x>-m单调递增，x<-m单调递减。如果我们光看[-5,5]这一段，如果对称轴在它左边，也就是-m≤-5，那[-5,5]这一段上只有单调递增的份了，最大值
就是x
=5那一点的值，最小值就是x=-5的值；如果对称轴在里面-5<-m<5，必然最小值就是顶点x=-m这一点，最大值肯定在端点x=±5上，至于到底是+5还是-5看情况而定，如果对称轴靠近+5那最大值就在-5，反之在+5；如果-m在5右边，[-5,5]上只有单调递减的份，最大值就是x=-5，最小值x=5。
分析完了，你发现没有，三要素找了，图象画了，之后这道题实际上已经解决了。再
整理一下
即可。
(1)m=2，是对称轴在里面的情况，最小值就是x=-m=-2时y的值，为-2；-2更靠近-5，所以最大值是x=5时候y的值，为47。
(2)上面已经说了，-m≤-5也就是m≥5的时候，单调递增；-m≥5也就是m≤-5的时候单调递减，这二者全属于
单调函数
。
注意，如果上面有什么不清楚的可以追问，另外如果
基本公式
（比如二次函数如何求对称轴）都不知道的话应该去翻课本。

热心网友 时间：2022-06-23 05:22

解：∵f(x)=x^2+2mx+2
∴m=2时，f(x)=x^2+4x+2
=(x+2)^2-2
∴当x=-2时，f(x)有最小值且f(x)=-2
又x∈[-5,5]
∴当x=5时，f(x)有最大值且f(5)=47.
又f'(x)=2x+2m
=2(x+m)
又x∈[-5,5]上f(x)是单调函数
∴当f'(x)=2（x+m)>0，即：x>-m时，f(x)是单调递增函数；
∴-m>5，即：m<-5时，f(x)是单调函数

热心网友 时间：2022-06-23 05:22

⑴当m=2时，f（x）=x²+4x+2,则
f'(x)=2x+4=0
=>x=-2
由f(-5)=7,f(-2)=-2,f(5)=47得
f（x）的最大值和最小值分别为：47，-2.
（2）f（x）=x²+2mx+2的图象开口向上，对称轴方程为：x=-m
使y=f（x）在区间[-5，5]
上是单调函数，则-m>5且f(5)=27+10m>0
所以：

热心网友 时间：2022-06-23 05:23

f(x)=(x+a)²+2-a²
开口向上，对称轴为x=-a,讨论对称轴与区间[-5,5]的相对位置：
1）若-a<-5,
即a>5,
则函数在区间单调增，最小值为f(-5)=27-10a;
最大值为f(5)=27+10a;
2)
若-a>5,即a<-5,
则函数在区间单调减，最小值为f(5)=27+10a,
最大值为f(-5)=27-10a;
3)
若-5=<-a<0,即0<a<=5,
则最小值为f(-a)=2-a²;
最大值为f(5)=27+10a;
4)
若0=<-a<=5,即-5=<a<=0,
则最小值为f(-a)=2-a²;最大值为f(-5)=27-10a.