前n个自然数的m次幂的和的一般公式

发布网友发布时间：2022-04-28 22:18

共3个回答

热心网友时间：2022-06-23 23:58

这个问题费马也研究过，下面把他的结果摘抄如下
1638年，费马注意到公式：
∑(k从1到n)k/1!=[n(n+1)]/2!
∑(k从1到n)[k(k+1)]/2!=[n(n+1)(n+2)]/3!
他做了个类比，得到
∑(k从1到n)[k(k+1)(k+2)]/3!=[n(n+1)(n+2)(n+3)]/4!
在证明上式子正确性后，他进一步通过类比得到
∑(k从1到n)[k*(k+1)...(k+p-1)]/p!=[n(n+1)...(n+p)]/(p+1)!
此式可通过数学归纳法证明。由此费马得到了求自然数方幂和的公式，如取p=3则
∑(k从1到n)[k(k+1)(k+2)]/3!=
[∑(k从1到n)k^3+3∑(k从1到n)k^2+2∑(k从1到n)k]/6=
n(n+1)(n+2)(n+3)/4!
而∑(k从1到n)k^2、∑(k从1到n)k我们已知，从而可以求出∑(k从1到n)k^3
如此递推可以解决自然数方幂和问题。

热心网友时间：2022-06-23 23:58

有难度

热心网友时间：2022-06-23 23:59