粗糙集的基本概念
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发布时间：2022-04-20 06:47
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时间：2022-05-13 03:20
分类过程中，相差不大的个体被归于同一类，它们的关系就是不可分辨关系（indiscernibility relation). 假定只用两种黑白颜色把空间中的物体分割两类，{黑色物体},{白色物体},那么同为黑色的两个物体就是不可分辨的，因为描述它们特征属性的信息相同，都是黑色.
如果再引入方，圆的属性，又可以将物体进一步分割为四类： {黑色方物体},{黑色圆物体},{白色方物体},{白色圆物体}. 这时，如果两个同为黑色方物体，则它们还是不可分辨的. 不可分辨关系是一种等效关系（equivalence relationship），两个白色圆物体间的不可分辨关系可以理解为它们在白，圆两种属性下存在等效关系.
基本集（elementary set) 定义为由论域中相互间不可分辨的对象组成的集合，是组成论域知识的颗粒. 不可分辨关系这一概念在粗糙集理论中十分重要，它深刻地揭示出知识的颗粒状结构，是定义其它概念的基础. 知识可认为是一族 等效关系，它将论域分割成一系列的等效类. 粗糙集理论延拓了经典的集合论，把用于分类的知识嵌入集合内，作为集合组成的一部分. 一个对象a 是否属于集合X 需根据现有的知识来判断，可分为三种情况： ⑴ 对象a 肯定属于集合X ; ⑵ 对象a 肯定不属于集X ; ⑶ 对象a 可能属于也可能不属于集合X . 集合的划分密切依赖于我们所掌握的关于论域的知识，是相对的而不是绝对的.给定一个有限的非空集合U 称为论域，I 为U 中的一族等效关系，即关于U 的知识，则二元对 K = (U,I) 称为一个近似空间（approximation space). 设x 为U 中的一个对象，X为U 的一个子集，I (x) 表示所有与x 不可分辨的对象所组成的集合，换句话说，是由x 决定的等效类，即I (x) 中的每个对象都与x 有相同的特征属性（attribute).
集合X 关于I 的下*近（Lower approximation) 定义为：
I* (X) = {x ∈U : I (x) 包含于X，实际上由那些根据现有知识判断肯定属于X 的对象所组成的最大的集合，有时也称为X 的正区（positive region），记作POS (X). 类似地，由根据现有知识判断肯定不属于X 的对象组成的集合称为X 的负区（negative region），记作N EG (X).
集合X 关于I 的上*近（Upper approximation) 定义为
I3 (X) = {x ∈U : I (x) ∩ X ≠ ∅}
I3 (X) 是由所有与X 相交非空的等效类I (x) 的并集，是那些可能属于X 的对象组成的最小集合. 显然，I3 (X) + N EG (X) = 论域U.
集合X 的边界区（Boundary region) 定义为
BND (X) = I3 (X) - I* (X)
BND (X) 为集合X 的上*近与下*近之差. 如果BND (X) 是空集，则称X 关于I 是清晰的（crisp) ; 反之如果BND (X) 不是空集，则称集合X 为关于I 的粗糙集（rough set).
下*近，上*近及边界区等概念称为可分辨区（discernibility regions），刻划了一个边界含糊（vague) 集合的*近特性. 粗糙程度可按按下式的计算
A1
=
I 3 (X)
I
3 (X),
式中 # 表示集合# 的基数或势（cardinality），对有限集合表示集合中所包含的元素的个数.
显然0≤A
1 (X) ≤1，如果A
1 (X) = 1，则称集合X 相对于I 是清晰（crisp) 的，如果A
1 (X) 0}
BND (X) = {x ∈U : 0 < LⅨ (x) < 1}
从上面的定义中，可以看出粗糙集理论中"含糊"(vague) 和"不确定"(uncertain ty) 这两个
概念之间的关系："含糊"用来描述集合，指集合的边界不清楚； 而"不确定"描述的是集合中的
元素，指某个元素是否属于某集合是不确定的. 下面用一个具体的实例说明粗糙集的概念. 在粗糙集中使用信息表（information table) 描述论域中的数据集合. 根据学科领域的不同，它们可能代表医疗，金融，军事，过程控制等方面的数据. 信息表的形式和大家所熟悉的关系数据库中的关系数据模型很相似，是一张二维表格，如表一所示. 表格的数据描述了一些人的教育程度以及是否找到了较好工作，旨在说明两者之间的关系. 其中王治,马丽，赵凯等称为对象（objects），一行描述一个对象. 表中的列描述对象的属性. 粗糙集理论中有两种属性： 条件属性（condition attribute) 和决策属性（decision attribute). 本例中"教育程度"为条件属性；"是否找到了好工作"为决策属性.
表1 教育程度与是否找到好工作的关系 姓名 教育程度 是否找到了好工作 王治 高中 否 马丽 高中 是 李得 小学 否 刘保 大学 是 赵凯 博士 是 设O 表示找到了好工作的人的集合，则O = {马丽，刘保，赵凯},设I 表示属性"教育 程度"所构成的一个等效关系，根据教育程度的不同，该论域被分割为四个等效类： {王治，马丽},{李得},{刘保},{赵凯}. 王治和马丽在 同一个等效类中，他们都为高中文化程度，是 不可分辨的. 则：
集合O 的下*近（即正区） 为 I *(O) = PO S (O) = {刘保，赵凯}
集合O 的负区为 N EG (O) = {李得}
集合O 的边界区为 BND (O) = {王治，马丽}
集合O 的上*近为 I 3 (O) = PO S (O) + BND (O) = {刘保，赵凯，王治，马丽}
根据表1，可以归纳出下面几条规则，揭示了教育程度与是否能找到好工作之间的关系.
RULE 1: IF （教育程度= 大学） OR （教育程度= 博士） THEN （可以找到好工作）
RULE 2: IF （教育程度= 小学） THEN （找不到好工作）
RULE 3: IF （教育程度= 高中） THEN （可能找到好工作）
从这个简单的例子中，我们还可以体会到粗糙集理论在数据分析，寻找规律方面的作用.
