求高中数学大题
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发布时间：2022-04-29 17:42
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时间：2023-10-25 05:37
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
解：（Ⅰ）取上底面的中心 ，作 于 ，连 和 ．
由长方体的性质，得 平面 ，由三垂线定理，
得 ，则 为二面角 的平面角
．
在 中，
（Ⅱ）取 的中点G，连 和 ．
易证明 ，则 为所求
． ．
在 中，
（Ⅲ）连 ， ，由 易证明 平面 ．
∴
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ，过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S，
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.
解（Ⅰ）在图①中，设 ， ．
则 ．由于 、 、 皆为正值，可解得 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 ．
在图②中，设 ， ． 可求得
，
解得 ．
．
当且仅当 ，即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
3．已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P（x, y）在 的内部， 于N，四边形ONPM的面积为2..
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（II）确定y=f(x)的定义域.
解：（Ⅰ）设 ， ．
则 ，
由动点 在 的内部，得 ．
∴ ，
∴
∴ ①
又 ，
分别解得 ，
代入①式消去 、 ，并化简得 ．
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）由 在 内部，得 ．
又垂足 必须在射线 上，否则 、 、 、 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件
∴
所以 的定义域为
4．如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2 ，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.
解：（I）连 ，则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角
在 中，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，即侧棱 与底面 所成角为45°，
（II）在等腰 中， ，∴ ，且O为AC中点，
过O作 于E，连 。∵ 平面ABCD于O，
由三垂线定理，知 ，
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC= ， ，∴底面ABCD是正方形。
∴ 。 在 中， 。
即所求二面角的正切值为 。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 。
∴ 。
∵ ，∴ 。
∵ ，∴平面 ，它们的交线是 。
过O作 ，则 。
。
又∵ 的中点，∴点C到平面 的距离 。
∴ 。
另解： 。
5．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，
且(n＋1)a ＋anan＋1－na ＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：（Ⅰ）∵
∴ 。
∴
∴ ，∴ 。 即 。
∴ 。
∴ ，∴又 ，∴ 。
∴ 。
（Ⅱ）∵ ，
∴
。
（Ⅲ）
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ 。
猜想：当 时， 。 即 。亦即 。
下面用数学归纳法证明：
当 时，前面已验证成立；
假设 时， 成立，那么当 时，
。
∴当 时， 也成立。
由以上 、 可知，当 时，有 ；当 时， ；
当 时， 。
6．如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求
(1) AD与平面BCD的成角;
(2) AD与BC的成角;
(3) 二面角A-BD-C的正切值.
解：（1）如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD
所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.
（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.
7．三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S1= ab ，S2= bc，S3= ca，
作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；S△ABC= BC×AD，在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2= ，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（ BC×AD）2= （a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD2= ，AD2=
∴cos2α= ；同理cos2β= ；
cos2γ= ；∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8．某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本， ）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。
解：设第 年鱼的产值 为最高。p为鱼苗总重量，则
，
……，
当
即第4年鱼的产值最高；另一方面，
当 或4时，
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小。
若G≠0则取 ；
若 则取
∴取 ，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB= 时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q，且∠AQB=1200，求C的离心率的范围。
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为 .
kPA= ，kPB= .
∴tg∠APB= ，∴ ，∴e= .
(2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0.
kAQ= ，kBQ= ，∴ =tg∠AQB= .
∴ =(x2＋y2－a2)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 .由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当 时，由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b，∴ ，∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？
解：设每期付款x元，根据题意，得到
所以 .
由等比数列前n项和的公式得
，由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元，第n期后欠款数记作an那么，
第1期后的欠款数为
第2期后的欠款数为
第3期后的欠款数为 .
……
第12期后的欠款数为
因为第12期全部付清，所以a12=0即
，
解得 x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
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时间：2023-10-25 05:37
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
解：（Ⅰ）取上底面的中心 ，作 于 ，连 和 ．
由长方体的性质，得 平面 ，由三垂线定理，
得 ，则 为二面角 的平面角
．
在 中，
（Ⅱ）取 的中点G，连 和 ．
易证明 ，则 为所求
． ．
在 中，
（Ⅲ）连 ， ，由 易证明 平面 ．
∴
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ，过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S，
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.
解（Ⅰ）在图①中，设 ， ．
则 ．由于 、 、 皆为正值，可解得 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 ．
在图②中，设 ， ． 可求得
，
解得 ．
．
当且仅当 ，即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
3．已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P（x, y）在 的内部， 于N，四边形ONPM的面积为2..
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（II）确定y=f(x)的定义域.
解：（Ⅰ）设 ， ．
则 ，
由动点 在 的内部，得 ．
∴ ，
∴
∴ ①
又 ，
分别解得 ，
代入①式消去 、 ，并化简得 ．
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）由 在 内部，得 ．
又垂足 必须在射线 上，否则 、 、 、 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件
∴
所以 的定义域为
4．如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2 ，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.
解：（I）连 ，则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角
在 中，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，即侧棱 与底面 所成角为45°，
（II）在等腰 中， ，∴ ，且O为AC中点，
过O作 于E，连 。∵ 平面ABCD于O，
由三垂线定理，知 ，
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC= ， ，∴底面ABCD是正方形。
∴ 。 在 中， 。
即所求二面角的正切值为 。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 。
∴ 。
∵ ，∴ 。
∵ ，∴平面 ，它们的交线是 。
过O作 ，则 。
。
又∵ 的中点，∴点C到平面 的距离 。
∴ 。
另解： 。
5．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，
且(n＋1)a ＋anan＋1－na ＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：（Ⅰ）∵
∴ 。
∴
∴ ，∴ 。 即 。
∴ 。
∴ ，∴又 ，∴ 。
∴ 。
（Ⅱ）∵ ，
∴
。
（Ⅲ）
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ 。
猜想：当 时， 。 即 。亦即 。
下面用数学归纳法证明：
当 时，前面已验证成立；
假设 时， 成立，那么当 时，
。
∴当 时， 也成立。
由以上 、 可知，当 时，有 ；当 时， ；
当 时， 。
6．如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求
(1) AD与平面BCD的成角;
(2) AD与BC的成角;
(3) 二面角A-BD-C的正切值.
解：（1）如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD
所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.
（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.
7．三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S1= ab ，S2= bc，S3= ca，
作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；S△ABC= BC×AD，在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2= ，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（ BC×AD）2= （a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD2= ，AD2=
∴cos2α= ；同理cos2β= ；
cos2γ= ；∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8．某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本， ）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。
解：设第 年鱼的产值 为最高。p为鱼苗总重量，则
，
……，
当
即第4年鱼的产值最高；另一方面，
当 或4时，
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小。
若G≠0则取 ；
若 则取
∴取 ，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB= 时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q，且∠AQB=1200，求C的离心率的范围。
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为 .
kPA= ，kPB= .
∴tg∠APB= ，∴ ，∴e= .
(2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0.
kAQ= ，kBQ= ，∴ =tg∠AQB= .
∴ =(x2＋y2－a2)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 .由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当 时，由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b，∴ ，∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？
解：设每期付款x元，根据题意，得到
所以 .
由等比数列前n项和的公式得
，由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元，第n期后欠款数记作an那么，
第1期后的欠款数为
第2期后的欠款数为
第3期后的欠款数为 .
……
第12期后的欠款数为
因为第12期全部付清，所以a12=0即
，
解得 x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
热心网友
时间：2023-10-25 05:37
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
解：（Ⅰ）取上底面的中心 ，作 于 ，连 和 ．
由长方体的性质，得 平面 ，由三垂线定理，
得 ，则 为二面角 的平面角
．
在 中，
（Ⅱ）取 的中点G，连 和 ．
易证明 ，则 为所求
． ．
在 中，
（Ⅲ）连 ， ，由 易证明 平面 ．
∴
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ，过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S，
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.
解（Ⅰ）在图①中，设 ， ．
则 ．由于 、 、 皆为正值，可解得 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 ．
在图②中，设 ， ． 可求得
，
解得 ．
．
当且仅当 ，即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
3．已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P（x, y）在 的内部， 于N，四边形ONPM的面积为2..
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（II）确定y=f(x)的定义域.
解：（Ⅰ）设 ， ．
则 ，
由动点 在 的内部，得 ．
∴ ，
∴
∴ ①
又 ，
分别解得 ，
代入①式消去 、 ，并化简得 ．
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）由 在 内部，得 ．
又垂足 必须在射线 上，否则 、 、 、 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件
∴
所以 的定义域为
4．如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2 ，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.
解：（I）连 ，则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角
在 中，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，即侧棱 与底面 所成角为45°，
（II）在等腰 中， ，∴ ，且O为AC中点，
过O作 于E，连 。∵ 平面ABCD于O，
由三垂线定理，知 ，
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC= ， ，∴底面ABCD是正方形。
∴ 。 在 中， 。
即所求二面角的正切值为 。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 。
∴ 。
∵ ，∴ 。
∵ ，∴平面 ，它们的交线是 。
过O作 ，则 。
。
又∵ 的中点，∴点C到平面 的距离 。
∴ 。
另解： 。
5．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，
且(n＋1)a ＋anan＋1－na ＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：（Ⅰ）∵
∴ 。
∴
∴ ，∴ 。 即 。
∴ 。
∴ ，∴又 ，∴ 。
∴ 。
（Ⅱ）∵ ，
∴
。
（Ⅲ）
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ 。
猜想：当 时， 。 即 。亦即 。
下面用数学归纳法证明：
当 时，前面已验证成立；
假设 时， 成立，那么当 时，
。
∴当 时， 也成立。
由以上 、 可知，当 时，有 ；当 时， ；
当 时， 。
6．如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求
(1) AD与平面BCD的成角;
(2) AD与BC的成角;
(3) 二面角A-BD-C的正切值.
解：（1）如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD
所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.
（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.
7．三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S1= ab ，S2= bc，S3= ca，
作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；S△ABC= BC×AD，在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2= ，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（ BC×AD）2= （a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD2= ，AD2=
∴cos2α= ；同理cos2β= ；
cos2γ= ；∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8．某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本， ）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。
解：设第 年鱼的产值 为最高。p为鱼苗总重量，则
，
……，
当
即第4年鱼的产值最高；另一方面，
当 或4时，
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小。
若G≠0则取 ；
若 则取
∴取 ，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB= 时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q，且∠AQB=1200，求C的离心率的范围。
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为 .
kPA= ，kPB= .
∴tg∠APB= ，∴ ，∴e= .
(2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0.
kAQ= ，kBQ= ，∴ =tg∠AQB= .
∴ =(x2＋y2－a2)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 .由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当 时，由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b，∴ ，∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？
解：设每期付款x元，根据题意，得到
所以 .
由等比数列前n项和的公式得
，由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元，第n期后欠款数记作an那么，
第1期后的欠款数为
第2期后的欠款数为
第3期后的欠款数为 .
……
第12期后的欠款数为
因为第12期全部付清，所以a12=0即
，
解得 x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
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时间：2023-10-25 05:37
（II）异面直线AB与 所成角的正切值；
（III）三棱锥 ——ABE的体积.
解：（Ⅰ）取上底面的中心 ，作 于 ，连 和 ．
由长方体的性质，得 平面 ，由三垂线定理，
得 ，则 为二面角 的平面角
．
在 中，
（Ⅱ）取 的中点G，连 和 ．
易证明 ，则 为所求
． ．
在 中，
（Ⅲ）连 ， ，由 易证明 平面 ．
∴
2．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：
图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周
图②的过水断面为等腰梯形 ‖ ，过水湿周 .若 与梯形ABCD的面积都为S，
（I）分别求 的最小值；
（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.
解（Ⅰ）在图①中，设 ， ．
则 ．由于 、 、 皆为正值，可解得 ．
当且仅当 ，即 时取等号．
所以 ．
在图②中，设 ， ． 可求得
，
解得 ．
．
当且仅当 ，即 时取等号．
（Ⅱ）由于 ，则 的最小值小于 的最小值．
所以在方案②中当 取得最小值时的设计为最佳方案．
3．已知：如图，射线OA为y=2x(x>0)，射线OB为y= –2x(x>0)，动点P（x, y）在 的内部， 于N，四边形ONPM的面积为2..
（I）动点P的纵坐标y是其横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（II）确定y=f(x)的定义域.
解：（Ⅰ）设 ， ．
则 ，
由动点 在 的内部，得 ．
∴ ，
∴
∴ ①
又 ，
分别解得 ，
代入①式消去 、 ，并化简得 ．
∵ ，∴ ．
（Ⅱ）由 在 内部，得 ．
又垂足 必须在射线 上，否则 、 、 、 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件
∴
所以 的定义域为
4．如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2 ，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.
（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；
（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；
（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.
解：（I）连 ，则 平面 于
∴ 就是侧棱 与底面 所成的角
在 中，
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，即侧棱 与底面 所成角为45°，
（II）在等腰 中， ，∴ ，且O为AC中点，
过O作 于E，连 。∵ 平面ABCD于O，
由三垂线定理，知 ，
∴∠ 是侧面 与底面ABCD所成二面角的平面角。
∵∠ABC= ， ，∴底面ABCD是正方形。
∴ 。 在 中， 。
即所求二面角的正切值为 。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 。
∴ 。
∵ ，∴ 。
∵ ，∴平面 ，它们的交线是 。
过O作 ，则 。
。
又∵ 的中点，∴点C到平面 的距离 。
∴ 。
另解： 。
5．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，
且(n＋1)a ＋anan＋1－na ＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：（Ⅰ）∵
∴ 。
∴
∴ ，∴ 。 即 。
∴ 。
∴ ，∴又 ，∴ 。
∴ 。
（Ⅱ）∵ ，
∴
。
（Ⅲ）
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ 。
猜想：当 时， 。 即 。亦即 。
下面用数学归纳法证明：
当 时，前面已验证成立；
假设 时， 成立，那么当 时，
。
∴当 时， 也成立。
由以上 、 可知，当 时，有 ；当 时， ；
当 时， 。
6．如图,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120o,求
(1) AD与平面BCD的成角;
(2) AD与BC的成角;
(3) 二面角A-BD-C的正切值.
解：（1）如图，过A作AE⊥CB与CB的延长线交与E，连接DE，
∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°∴AD与平面CBD
所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE
∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°.
（3）过E作EM⊥BD于M
由（2）及三垂线定理知，AM⊥BD，
∴∠AME为二面角A－BD－C的平面角的补角.
∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2，故二面角A-BD-C的正切值为－2.
7．三棱锥P-ABC中，三侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，三侧面面积分别为S1、S2、S3，底面积为S，三侧面与底面分别成角α、β、γ，（1）求S（用S1、S2、S3表示）；（2）求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1；
解：设PA=a，PB=b，PC=c，则S1= ab ，S2= bc，S3= ca，
作PD⊥BC于D，连AD，易证BC⊥平面PAD，
于是BC⊥AD；S△ABC= BC×AD，在Rt△APD中，AD2=a2+PD2，
在Rt△BPC中，PD2= ，
∴AD2=a2+
∴S△ABC2=（ BC×AD）2= （a2b2+b2c2+c2a2）=
∴
证明：由（1）知，PD⊥BC，AD⊥BC，∴∠PDA是侧面PBC与底面ABC所成二面角的平面角，不妨设∠PDA=α，
PD2= ，AD2=
∴cos2α= ；同理cos2β= ；
cos2γ= ；∴cos2α+cos2β+cos2γ=1
8．某渔场养鱼，鱼的重量增长率第一年为400%，以后每年重量增长率都是前一年的三分之一。同时鱼每年要损失预计重量的10%。预计养鱼的费用第一年是鱼苗成本的20%，以后每年的费用M（t）与年数t满足关系式 （其中 为鱼苗成本， ）。问该渔场的鱼养几年后全部捕捞，鱼的产值高且费用较少（设鱼苗价30元/斤，成鱼市场价7元/斤）。
解：设第 年鱼的产值 为最高。p为鱼苗总重量，则
，
……，
当
即第4年鱼的产值最高；另一方面，
当 或4时，
下面比较第4年比第3年增加的产值G与该年投入的费用 的大小。
若G≠0则取 ；
若 则取
∴取 ，即该渔场三年后捕捞，鱼的总产值高且费用较少。
9．已知椭圆C： (a＞b＞0)的长轴两端点为A、B，
（1）过焦点F作垂直于长轴的弦PP′，当tg∠APB= 时，求C的离心率；
（2）如果C上存在一点Q，且∠AQB=1200，求C的离心率的范围。
解：(1)设F为右焦点；P在x轴下方，横坐标为c，则纵坐标为 .
kPA= ，kPB= .
∴tg∠APB= ，∴ ，∴e= .
(2)设θ(x，y)，由对称性，不妨设θ在x轴上方，即y＞0.
kAQ= ，kBQ= ，∴ =tg∠AQB= .
∴ =(x2＋y2－a2)＋2ay=0.
此方程与椭圆方程联立，可求出y=0或 .由y=0，得Q与A或B重合，舍去.当 时，由Q在椭圆上半部.
∴ ≤b，∴ ，∴e∈ .
10．购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款方法.每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少（精确到1元）？
解：设每期付款x元，根据题意，得到
所以 .
由等比数列前n项和的公式得
，由计算器算得x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
解法二：设每期付款x元，第n期后欠款数记作an那么，
第1期后的欠款数为
第2期后的欠款数为
第3期后的欠款数为 .
……
第12期后的欠款数为
因为第12期全部付清，所以a12=0即
，
解得 x≈439（元）.
答：每期应付款约439元.
