J积分理论
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发布时间：2022-04-29 15:29
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时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
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时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
热心网友
时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
热心网友
时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
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时间：2023-11-06 14:46
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
热心网友
时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
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时间：2023-10-15 13:49
Rice应用塑性力学的全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算上的困难，于1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念，1972年Begley与Landes实验研究后指出：J积分可作为表示起裂的弹塑性断裂判据。
J积分是一个定义明确及理论严密的应力、应变场参量，像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，J积分即能描述裂纹顶端区域应力、应变场强度，又容易通过实验来测定。所以它是弹塑性断裂力学中的重要参量。J积分有两种定义或表达式，一是回路积分定义，另一种是形变功率定义，在塑性力学全量理论的描述下这两种定义是等效的。
一、J积分的回路定义
设有一单位厚度的板状试样，其中有一贯穿裂纹，如图4-1所示。因为板状问题属于平面应力状态问题，根据能量平衡理论有
岩石断裂与损伤
式中：Π为系统势能；U为弹性应变能；W为外力功。设裂纹面积扩展了dA，在这个过程中载荷所做的功为dW，体系弹性应变能变化了dU，裂纹扩展所需的塑性功和释放的表面能可视为裂纹扩展所要消耗的能量dΠ，也即阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必需提供的能量为：-dΠ=dW-dU。定义裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量为裂纹扩展能量释放率，或称为裂纹扩展单位长度时的裂纹驱动力，用G表示：
岩石断裂与损伤
对于单位厚度的平面问题，A=B×a=a，其中B=1，a为裂纹长度。则有
岩石断裂与损伤
在试样上取一体积元dV=dxdy，则总应变能为
岩石断裂与损伤
式中：w为应变能密度。
设试样边界Γ上作用有面力T，在试样周边上取一微元弧长ds，边界Γ上各点位移为u，则外力的功为
岩石断裂与损伤
将式（4-4）和（4-5）代入式（4-1），得
岩石断裂与损伤
由式（4-3）和式（4-6）得到
岩石断裂与损伤
上式在线弹性条件下是成立的，在弹塑性条件下G已失效，但是对任何弹塑性体，不管是大范围屈服还是整体屈服，上式右边的积分总是存在的，这个积分称为J积分。
图4-1 J积分定义简图
图4-2 J积分守恒的积分路线图
岩石断裂与损伤
式（4-8）就是对于二维问题，Rice提出的J积分的回路积分定义，它是一种能量线积分，式中：Γ为绕裂纹尖端的下表面反时针走到上表面的积分回路（图4-1）；T为作用在积分回路Γ上的面力矢量（单位弧长上的力）；u为作用在积分回路Γ上的位移矢量；ds为回路上的弧元；w为应变能密度。
岩石断裂与损伤
令x=x1，y=x2，面力分量：Tx=T1，Ty=T2。位移分量：u=u1，v=u2。用n=（n1，n2）表示回路单位法线矢，则
岩石断裂与损伤
式中θ为n与x方向的夹角。由应力边界条件：
Tx=σxn1+τxyn2
Ty=τyxn1+σyn2
即：Ti=σijnj（i，j=1，2）
则J积分的标量式：
岩石断裂与损伤
二、J积分的守恒性
J积分所以能成为描述弹塑性断裂的参量，重要原因是J积分具有守恒性，即：J积分的积分值与所选择的路径无关。由于守恒性，J积分就像线弹性断裂力学中的应力强度因子一样，反映了裂纹顶端的某种力学特征或应力应变强度，同时在分析过程中有可能避开裂纹顶端这个难以直接严密分析的区域。下面证明J积分的守恒性，即证明式（4-11）成立：
岩石断裂与损伤
式中：Γ、Γ′为围绕裂纹顶端区的两条不同的积分回路，如图4-2所示。取闭合路径：。
由格林公式：
岩石断裂与损伤
因为
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
令：
化简得
岩石断裂与损伤
当体力不计时：，
在小变形条件下：
代入得
岩石断裂与损伤
所以
岩石断裂与损伤
由于：，在CD和AB上Ti=0，dy=0，L=Γ-Γ′。即有
岩石断裂与损伤
此式即为J积分数值与路径无关的证明，也即J积分具有守恒性的证明。需要说明的是在上述证明过程中运用了以下关系：
（1）w=∫σijdεij，。即要求εij由σij唯一确定，即弹塑性体按单调比例加载，不允许发生卸载（全量理论的要求）。
（2））。即要求小变形。
（3）。即不计体力。
由此可见，J积分的守恒性仅在上述条件下才能得到严格证明，这也是J积分理论应用的适用范围，后来不少学者对J积分的适用范围进行了研究，并证明在积分回路通过大应变区域时，J积分数值与积分路径无关仍然是近似成立的，从而使J积分参量的应用范围扩大到三维非线性弹性体、轴对称裂纹体等问题中。
三、J积分的物理意义
1.线弹性材料
对于线弹性材料，J积分守恒成立的几个前提条件（不计体力、小应变、单调加载）都是自然具备的，因此J积分理论可用于分析线弹性平面裂纹问题。
由J积分的回路定义式（4-10），线弹性平面应变状态条件下，应变能密度为
岩石断裂与损伤
将Ⅰ型裂纹尖端附近的应力分量表达式代入上式得
岩石断裂与损伤
取积分回路为一个以裂纹尖为中心，半径为r的圆周，求得
岩石断裂与损伤
由边界条件得
岩石断裂与损伤
Ⅰ型裂纹平面应变情况下的位移分量：
岩石断裂与损伤
代入式（4-10）第二项积分：
岩石断裂与损伤
将式（4-12）和式（4-13）代入式（4-10）得
岩石断裂与损伤
平面应力状态：
岩石断裂与损伤
即在线弹性条件下J积分的物理意义就是能量释放率，J积分的断裂判据JⅠ=JⅠC与KⅠ=KⅠC、GⅠ=GⅠC等效。
2.弹塑性材料
前面介绍了J积分的回路积分定义，虽然定义明确，又是比较严密的裂尖场参量，但在非线性情况下利用围线积分求J值十分麻烦。工程上应用方便的断裂判据参量，必须易于理论估算和实验测定。因此往往使用的是J积分的形变功率定义。
J积分的形变功率定义也是由Rice首先提出的，其定义式如下：
岩石断裂与损伤
式中：积分回路L为试样的边界围线；B为试样厚度；T、u为试样边界上的外力与位移；U为试样中的应变能；ds为试样边界上的微弧元。可以证明式（4-16）与J积分的回路定义是一致的。但式（4-16）中积分是沿试样边界进行的，其值也只与边界的力的分量及位移分量的微分有关，因此按此定义计算的J积分比直接按回路积分定义式的计算要方便得多，也便于实验标定。
图4-3 单边裂纹拉伸试样
在断裂韧性试验中，常用的简单加载情况如图4-3所示。一切口试样厚度为B，上端边界L2固定，下端载荷为F，左右边界为自由边界。
由式（4-16），在自由边界L0上Ti=0；在固定边界上L2，，所以自由边界和固定边界对上式中积分项无贡献。在施加载荷F的活动边界L1 上，（B为试样厚度，W为试样宽度），若令加载点的位移u=Δ，则：
岩石断裂与损伤
根据能量平衡理论式（4-1）Π=U-W，其中：Π为系统势能，U为弹性应变能，W为外力功，且W=FΔ。即：U=Π+FΔ，将此式代入上述J积分表达式中，得
岩石断裂与损伤
恒载条件下dF=0，上式变为
岩石断裂与损伤
恒位移条件下dΔ=0，上式变为
岩石断裂与损伤
式（4-19）与（4-20）在J积分的测试中应用较广。
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而储存在材料中的应变能不会全部释放。下面通过对试样加载过程中裂纹扩展和能量变化说明J积分的物理意义。
设有外形尺寸完全相同而裂纹尺寸不同的两个试样，其厚度为B，裂纹长度分别为a、a+Δa，在相同载荷F作用下，由于两个试样的柔度不同，其加载曲线具有不同的形式，如图4-4（a）所示，由于弹塑性材料的载荷变形曲线呈非线性，可以得出两个试样在加载过程中所接受的形变功的差量为
图4-4 弹塑性体F-Δ曲线及形变功
岩石断裂与损伤
式中：S表示面积，由于δΔ很小，F可认为是AB间的平均应力。由上式可得
SOABO=-δU+FδΔ
上式两边同除以Bδa，则
岩石断裂与损伤
由式（4-17）可知，上式右边即为J积分，所以有
岩石断裂与损伤
由式（4-21）可见，曲线OA、OB之间阴影的面积即为JBδa。
在恒位移或恒载荷条件下，如图4-4（b）、（c）所示，OA、OB曲线之间阴影的面积即表示两个试样之间形变功的差异。由式（4-21）可得
岩石断裂与损伤
式中，Bδa表示两试样相差的裂纹扩展面积；SOABO表示两试样间形变功的差异。由此可以说明J积分的物理意义。对于弹塑性体而言，J积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同边界约束和相同边界载荷，但裂纹长度相差δa（a，a+δa），当δa⇒0时的单位厚度势能的差率或所接受的形变功率的差异。
四、J积分判据
1.弹塑性条件下裂纹尖端附近区域的应力场和应变场
1968年Hutchinson、Rice、Rosengren在塑性力学全量理论条件下对幂硬化材料求出带裂纹体的弹塑性应力、应变局部解——HRR理论。
幂硬化材料本构关系：
σe=A（εp）N
其中：N为硬化指数；A为材料常数。应力场和应变场分别为
岩石断裂与损伤
式中：、为角因子，是θ、N的量纲为一的函数。
上述各式也可表示为
岩石断裂与损伤
式中：In是N的函数，。σ0为屈服强度；E为弹性模量；α、In为材料系数；n为硬化指数。有
岩石断裂与损伤
当r→0，，；故上式反映了裂纹尖端应力、应变场的奇异性。应力的奇异性为：阶；应变的奇异性为阶。当n=1时与线弹性情况相同。
2.J积分判据
由HRR理论知，在弹塑性条件下J积分的大小完全决定了裂纹尖端附近区域的应力场、应变场强度，可以用J积分这个参量来当做分析弹塑性体断裂的判据：
岩石断裂与损伤
JⅠC表示平面应变条件下J积分的临界值，称起裂韧度，它反映了弹塑性材料抵抗断裂的能力。
J积分断裂判据的使用条件：
（1）J积分的守恒性是在简单加载条件下证明的，故使用时不允许卸载，只能应用于分析裂纹扩展的开始，即仅为起裂的断裂判据，而不能用于裂纹的扩展过程（如亚临界裂纹扩展）。
（2）在小变形条件下J积分具有守恒性，在大变形条件下可按增量理论近似证明J积分的守恒性。
（3）当n→∞时J积分不能当做弹塑性断裂的控制参数。
在小范围屈服条件下J=JⅠC可作为弹塑性裂纹开始扩展的判据，但在大范围屈服时目前从理论上还没有完全解决。但是，利用小试样测出平面应变起裂韧度JⅠC与平面应变断裂韧度KⅠC有：，由于J积分对塑性区敏感性小，因此在需要很大试件和足够长裂纹才能准确测定KⅠC时，可由小试样测出JⅠC，进而求出KⅠC。
对于地质材料，特别是非均质的岩石，由于存在层理、节理，具有明显的各向异性，在测KⅠC时为保证塑性区相对较小需较长裂纹和较大试样，而且非均质和各向异性导致测试结果的离散和较大误差。利用JⅠC求出KⅠC则减少了非均质和各向异性对测定KⅠC的影响。
