方程的同解原理是什么?
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发布时间：2022-05-15 09:57
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热心网友
时间：2023-10-19 06:10
方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．
证明：任意给定一个一元方程，我们用f（x）与g（x）分别表示方程的左边与右边，即把原方程记为
f（x）=g（x）………………①
在方程①的两边都加上一个整式d（x）（一个数可以看作是整式的特例），得到
f（x）+d（x）=g（x）+d（x）………………②
设x=a是方程①的解，即有
f（a）=g（a）．
因为d（x）是一个整式，d（a）是有意义的，所以根据等式性质1有
f（a）+d（a）=g（a）+d（a），
即x=a是方程②的解．
反过来，设x=a是方程②的解，即有
f（a）+d（a）=g（a）+d（a）．
在上面等式两边都减去d（a），根据等式性质1有
f（a）=g（a），
即x=a是方程①的解．
此外，如果在两个方程中，其中之一的解集是空集，那么另一方程的解集也必为空集．否则，设它有解x=a，那么按照上面的做法，可以推出前一个方程也有解x=a，与这个方程的解集是空集矛盾．
从上面的证明可知，方程①与②是同解方程．对于多元方程，证明与上面类似．
方程同解原理2
方程两边都乘（或除以）不等于0的同一个数，所得方程与原方程是同解方程．
证明：任意给定一个一元方程，我们用f（x）和g（x）分别表示方程的左边和右边，也就是把原方程改写成
f（x）=g（x）………………③
用任意一个不为0的数c乘③式两边，我们得到方程
cf（x）=cg（x）………………④
现在假定x=a是方程③的解，即下面的等式成立：
f（a）=g（a）．
根据等式性质2，我们知道
cf（a）=cg（a）
也成立，即x=a也是方程④的解．
反过来，假定x=b是方程④的解，即下面的等式成立：
cf（b）=cg（b），
其中c是一个不为0的数．根据等式性质2，我们知道
f（b）=g（b）
也成立，即x=b也是方程③的解．
此外，与方程同解原理1的证明类似，可以证明在上面两个方程中，如果其中之一的解集为空集，那么另一方程的解集也必为空集．
从上面的证明可知，方程③与④是同解方程．对于多元方程，证明与上面类似．
热心网友
时间：2023-10-19 06:10
(2)方程的两边都乘以(或都除以)不等于零的同一个数，所得方程与原方程是同解方程。
(3)如果方程的一边为0，另一边可分解为n个因式的乘积，那么使各个因式分别等于零，这样得出n个方程与原方程是同解方程．
例 (x－1)(x+2)(x－3)=0与x－1=0，x+2=0，x－3=0同解．
注意：(1)如果方程的两边同乘以一个整式，或两边同时乘方，扩大了解的允许值的范围，则可能产生增根．这就需要检验，找出不是方程的根(不能使方程成立的未知数的值)舍去．(2)如果方程两边同除以一个整式，或两边同时开方，则可能遗根．要使整式=0找出根或以被开方数=0找出根，加以验证，确定是否为根，若是原方程的根，则应补上做为原方程的一个根．(3)如何避免破坏同解性，尽量不采取不同解的变形方式．
