13.用Prim算法和Kruskal算法构造图的最小生成树,所得到的最小生成树是 ...

发布网友 发布时间：2022-05-15 09:52

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懂视网 时间：2022-05-18 23:39

之前都是看书，大部分也是c++的实现，但是搞前端不能忘了JS啊，所以JS实现一遍这两个经典的最小生成树算法。

一、权重图和最小生成树

权重图：图的边带权重

最小生成树：在连通图的所有生成树中，所有边的权重和最小的生成树

本文使用的图如下：

它的最小生成树如下：

二、邻接矩阵

邻接矩阵：用来表示图的矩阵就是邻接矩阵，其中下标表示顶点，矩阵中的值表示边的权重（或者有无边，方向等）。

本文在构建邻接矩阵时，默认Number.MAX_SAFE_INTEGER表示两个节点之间没有边，Number.MIN_SAFE_INTEGER表示当前节点没有自环。

代码如下：

/**
 * 邻接矩阵
 * 值为顶点与顶点之间边的权值，0表示无自环，一个大数表示无边(比如10000)
 * */
const MAX_INTEGER = Number.MAX_SAFE_INTEGER;//没有的边
const MIN_INTEGER = Number.MIN_SAFE_INTEGER;//没有自环
 
const matrix= [
 [MIN_INTEGER, 9, 2, MAX_INTEGER, 6],
 [9, MIN_INTEGER, 3, MAX_INTEGER, MAX_INTEGER],
 [2, 3, MIN_INTEGER, 5, MAX_INTEGER],
 [MAX_INTEGER, MAX_INTEGER, 5, MIN_INTEGER, 1],
 [6, MAX_INTEGER, MAX_INTEGER, 1, MIN_INTEGER]
];

这个邻接矩阵表示的图如下：

三、 边的表示

一个边具有权重、起点、重点三个属性，所以可以创建一个类(对象)，实现如下：

/**
 * 边对象
 * */
function Edge(begin, end, weight) {
 this.begin = begin;
 this.end = end;
 this.weight = weight;
}
 
Edge.prototype.getBegin = function () {
 return this.begin;
};
Edge.prototype.getEnd = function () {
 return this.end;
};
Edge.prototype.getWeight = function () {
 return this.weight;
};
 
/*class Edge {
 constructor(begin, end, weight) {
 this.begin = begin;
 this.end = end;
 this.weight = weight;
 }
 getBegin() {
 return this.begin;
 }
 getEnd() {
 return this.end;
 }
 getWeight() {
 return this.weight;
 }
}*/

 PS：JS这门语言没有私有变量的说法，这里写get方法纯粹是模拟一下私有变量。可以不用这么写，可以直接通过属性访问到属性值。

四、Prim算法

将这个算法的文章数不胜数，这里就不细说了。

其大体思路就是：以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的相邻边构建最小生成树，同时其邻接点纳入生成树的顶点中,只要保证顶点不重复添加即可。

实现代码如下：

/**
 * Prim算法
 * 以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边构建最小生成树，同时其邻接点纳入生成树的顶点中,只要保证顶点不重复添加即可
 * 使用邻接矩阵即可
 * 优点：适合点少边多的情况
 * @param matrix 邻接矩阵
 * @return Array 最小生成树的边集数组
 * */
function prim(matrix) {
 const rows = matrix.length,
 cols = rows,
 result = [],
 savedNode = [0];//已选择的节点
 let minVex = -1,
 minWeight = MAX_INTEGER;
 for (let i = 0; i < rows; i++) {
 let row = savedNode[i],
 edgeArr = matrix[row];
 for (let j = 0; j < cols; j++) {
 if (edgeArr[j] < minWeight && edgeArr[j] !== MIN_INTEGER) {
 minWeight = edgeArr[j];
 minVex = j;
 }
 }
 
 //保证所有已保存节点的相邻边都遍历到
 if (savedNode.indexOf(minVex) === -1 && i === savedNode.length - 1) {
 savedNode.push(minVex);
 result.push(new Edge(row, minVex, minWeight));
 
 //重新在已加入的节点集中找权值最小的边的外部边
 i = -1;
 minWeight = MAX_INTEGER;
 
 //已加入的边，去掉，下次就不会选这条边了
 matrix[row][minVex] = MAX_INTEGER;
 matrix[minVex][row] = MAX_INTEGER;
 }
 }
 return result;
}

五、Kruskal算法

介绍这个算法的文章也很多，这里不细说。

其主要的思路就是：遍历所有的边，按权值从小到大排序，每次选取当前权值最小的边，只要不构成回环，则加入生成树。

5.1 邻接矩阵转成边集数组

与Prim算法不同，Kruskal算法是从最小权值的边开始的，所以使用边集数组更方便。所以需要将邻接矩阵转成边集数组，并且按照边的权重从小到大排序。

/**
 * 邻接矩阵转边集数组的函数
 * @param matrix 邻接矩阵
 * @return Array 边集数组
 * */
function changeMatrixToEdgeArray(matrix) {
 const rows = matrix.length,
 cols = rows,
 result = [];
 for (let i = 0; i < rows; i++) {
 const row = matrix[i];
 for(let j = 0 ; j < cols; j++) {
 if(row[j] !== MIN_INTEGER && row[j] !== MAX_INTEGER) {
 result.push(new Edge(i, j, row[j]));
 matrix[i][j] = MAX_INTEGER;
 matrix[j][i] = MAX_INTEGER;
 }
 }
 }
 result.sort((a, b) => a.getWeight() - b.getWeight());
 return result;
}

5.2 Kruskal算法的具体实现

Kruskal算法的一个要点就是避免环路，这里采用一个数组来保存已纳入生成树的顶点和边（连线），其下标是边（连线）的起点，下标对应的元素值是边（连线）的终点。下标对应的元素值为0，表示还没有以它为起点的边（连线）。

连线：表示一条或多条边前后连接形成的一条线，这条线没有环路。

/**
 * kruskal算法
 * 遍历所有的边，按权值从小到大排序，每次选取当前权值最小的边，只要不构成回环，则加入生成树
 * 邻接矩阵转换成边集数组
 * 优点：适合点多边少的情况
 * @param matrix 邻接矩阵
 * @return Array 最小生成树的边集数组
 * */
function kruskal(matrix) {
 const edgeArray = changeMatrixToEdgeArray(matrix),
 result = [],
 //使用一个数组保存当前顶点的边的终点,0表示还没有已它为起点的边加入
 savedEdge = new Array(matrix.length).fill(0);
 
 for (let i = 0, len = edgeArray.length; i < len; i++) {
 const edge = edgeArray[i];
 const n = findEnd(savedEdge, edge.getBegin());
 const m = findEnd(savedEdge, edge.getEnd());
 console.log(savedEdge, n, m);
 //不相等表示这条边没有与现有生成树形成环路
 if (n !== m) {
 result.push(edge);
 //将这条边的结尾顶点加入数组中，表示顶点已在生成树中
 savedEdge[n] = m;
 }
 }
 return result;
}
 
/**
 * 查找连线顶点的尾部下标
 * @param arr 判断边与边是否形成环路的数组
 * @param start 连线开始的顶点
 * @return Number 连线顶点的尾部下标
 * */
function findEnd(arr, start) {
 //就是一直循环，直到找到终点，如果没有连线，就返回0
 while (arr[start] > 0) {
 start = arr[start];
 }
 return start;
}

热心网友 时间：2022-05-18 20:47