洛朗级数性质

发布网友发布时间：2022-05-16 08:05

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热心网友时间：2023-10-16 03:52

复变函数f(z)的洛朗（Laurent）级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒(Taylor)级数，但可以表示为洛朗级数。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内，在这个圆环内f(z)是全纯函数。在实践中，上述的积分公式可能不是计算给定的函数系数最实用的方法；相反，人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于除了奇点X = 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。
函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：
由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广：
积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内，在这个圆环内f(z)是全纯函数。f(z)的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。
在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。
函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出：
其中an是常数，由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广：
积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，在这个圆环内是全纯的（解析的）。的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。在右边的图中，该环用红色显示，其内有一合适的积分路径。如果我们让是一个圆，其中，这就相当于要计算的*到上的复傅里叶系数。这些积分不随轮廓的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果。