根据真值表写出逻辑函数的原理是什么?
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发布时间：2022-05-12 15:36
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时间：2023-10-12 01:28
1、数学解释：
【逻辑函数】是数学函数的一种，表示的是【逻辑变量】——取值范围为｛0，1｝的变量——间的对应关系。这种关系是通过【逻辑运算】建立的，所以，【逻辑函数】的一切性质，都是由【逻辑变量】和【逻辑运算】决定的。先说说【逻辑运算】：
①：【与——逻辑乘】：Y＝X1·X2·……·Xk；（k个逻辑变量连乘）
表示：Y＝1，当且仅当 X1、X2、……、Xk【全部等于1】；
②：【或——逻辑加】：Y＝X1＋X2＋……＋Xk；（k个逻辑变量连加）
表示：Y＝1，当且仅当 X1、X2、……、Xk【至少一个等于1】；
③：【非——逻辑非】：Y＝X′；（我用X′表示：X的非）
表示：Y＝1，当且仅当 X【等于0】；
逻辑函数的通用表达式为：
Y＝f（X1，X2，……，Xk）；——k元逻辑函数；
在【真值表】中，k元逻辑函数必然恰好具有：2＾k行。我们用：
v＝（x1，x2，……，xk）
来表示真值表某一行中全部自变量的【赋值组合】。 那么该行对应的函数值可记作：
Y＝f（v）；
我们知道，自变量的【赋值组合】唯一确定了Y的取值。根据每行中Y的不同取值（0或1），可将每行所对应的【赋值组合】分为两组：
A组：Y＝1；记作：A＝｛a1，a2，……，am｝；——设共有m行；
B组：Y＝0；记作：B＝｛b1，b2，……，bn｝；——设共有n行；
显然：m＋n＝2＾k；并且：
Y＝f（a1）＝f（a2）＝……＝f（am）＝1；
Y＝f（b1）＝f（b2）＝……＝f（bn）＝0；
另外，因为每个【赋值组合】都要取遍所有自变量，那么，每行的【赋值组合】必然可以对应一个【最小项】，构造规则如下：
①：如果Xi＝1；则使用【正变量】——Xi；
②：如果Xi＝0；则使用【反变量】——Xi′；
根据【逻辑乘】和【逻辑非】的运算性质，可知：使用此方法构造最小项，必然具有以下性质：
【1】可以构造出k个变量的全部【最小项】，它们恰好分别对应【真值表】中的每一行；
【2】每个【赋值组合】，恰好也是【唯一的】可以使相应【最小项】等于1的【赋值组合】；
根据【2】所确定的【赋值组合】与【最小项】间的一一对应关系，我们将该【逻辑函数】的所有的【最小项】也分为两组：
M＝｛A1，A2，……，Am｝；
N＝｛B1，B2，……，Bn｝；
其中的每个元素都是一个个的【最小项】；并且，我们规定M、N中元素的下标，与A、B中所对应的元素的下标是一致的。
现在，我们可以确定这样一种关系了：
Y＝f（v）＝1；
当且仅当：v∈A；
当且仅当：存在ai＝v∈A；（i是一个不确定的下标）
当且仅当：Ai＝1；显然：Ai∈M；
当且仅当：所有Aj＝Bl＝0；其中：Aj∈M且j≠i；Bl∈N；（j和l都是下标）
这也就是说：
Y＝1；当且仅当：M中【至少（事实上，也是恰好）有1个】最小项也等于1。
再根据【逻辑加】的运算性质，可知，Y必然满足以下等式：
Y＝A1＋A2＋……Am；
这，就是该【逻辑函数】的【标准与或式】。也就是根据【真值表】直接写出来的【逻辑表达式】。
