动载荷作用下的裂纹
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发布时间：2022-05-12 10:02
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时间：2023-08-07 10:57
当静态裂纹受到随时间迅速变化的载荷作用时，由于材料具有惯性而产生惯性力，惯性力造成的应力即以应力波的形式在裂纹中传播，使问题具有动态性质。
随时间迅速变化的载荷分为两种基本类型，即阶跃函数形式的冲击载荷和正弦波形式的连续载荷。其他任何形式的动载荷均可由这两种形式组合或叠加而成。
一、裂纹尖端的应力场和位移场
动载荷作用于裂纹体时，惯性力以应力波的形式在裂纹体中传播，应力波入射到裂纹后，在裂纹表面产生反射，并在裂纹尖端处产生衍射现象，从而使裂纹尖端的原有应力场和位移场增加。对于线弹性体中的Ⅰ型静止裂纹，根据弹性动力学，裂纹尖端的应力场和位移场可以仿照静态断裂力学表示为
岩石断裂与损伤
岩石断裂与损伤
式中k由下式确定：
岩石断裂与损伤
不难看出，与静态问题类似，裂纹尖端附近的动态应力场仍然具有r1/2阶的奇异性；且应力依赖于角θ的特性，也与静态一致。KⅠ（t）称为Ⅰ型裂纹的动态应力强度因子。惯性力的效应即反映在KⅠ（t）中，且随时间而变。因此，动态应力场与位移场也随时间变化，这是动态与静态的不同之处。对于Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，也可得到相应的动态应力场和位移场，且与I型裂纹具有相同的特点。
二、动态应力强度因子
对于Ⅰ型裂纹，动态应力强度因子KⅠ（t）可以定义为
岩石断裂与损伤
由于应力分量是时间的函数，因而应力强度因子也是时间或裂纹传播速度的函数。
求解动载荷作用下的裂纹问题，关键是要求出动态应力强度因子KⅠ（t），一旦KⅠ（t）确定后，动态应力场和位移场即可确定。
动态应力强度因子的数学求解十分复杂，因为KⅠ（t）的形式除受载荷类型影响外，还与裂纹体的几何形状、尺寸，裂纹的几何形状、尺寸，以及入射波的波形等因素有关。对于无限尺寸的裂纹体，尚有可能求得解析解，但对于有限尺寸的裂纹体，一般只能通过有限元和边界元等数值方法得到近似的数值解。由于分析过程复杂，这里只简单介绍某些情况的分析结果。
图8-1所示为无限大物体中长为2a的裂纹在阶跃函数型的应力波（阶跃高度为σ），沿垂直于裂纹面方向入射时，其动态应力强度因子随时间变化的情况。横坐标为横波速度c2与裂纹半长度a及时间t构成的量纲为一的量，纵坐标为动态应力强度因子与静态应力强度因子之比。由图8-1可见，当应力波开始入射后，K（t）与t1/2成比例增加，当裂纹另一端衍射的应力波达到所研究的裂纹尖端时，K（t）开始偏t1/2曲线（图中虚线部分），并逐渐达到其最大值。之后，由于两种应力波的多次衍射而出现脉动，假设裂纹体为无限尺寸，故无边界反射存在。
由图8-1中还可看出，动态应力强度因子的最大值约为静态值的1.25倍，且三种不同形式的裂纹其动态应力强度因子到达峰值的时间不同。Ⅱ型裂纹最早，Ⅲ型次之，Ⅰ型最晚。这与三种裂纹对纵波、横波和表面波的响应各不相同有关，而三种波的速度不等，因此造成达到峰值的时间不等。
图8-2示出了无限大物体中长为2a的裂纹体受到正弦型应力波时的动态应力强度因子。K（t）与静态应力强度因子的比值依赖于入射应力波的频率ω与裂纹半长度a，其最大值约为1.3。
图8-1 动态应力强度因子随时间变化
岩石断裂与损伤
图8-2 K（t）与入射应力波频率w关系
对于有限尺寸的裂纹体受动载荷作用时的应力强度因子，由于解析解很难建立，一般采用数值解法。其特点是需要考虑各种波在边界面上的反射，并且受到裂纹体尺寸的影响，从而使动态应力强度因子的变化十分复杂，图8-3是利用差分法计算出的矩形板在两端受到阶跃函数型拉伸应力时的动态应力强度因子。由于纵波、横波沿裂纹表面传播的表面波多次反射及衍射，动态应力强度因子随时间变化十分复杂，其最大值超过静态的2.5倍。若板的尺寸改变，则K（t）随时间的变化也将改变。
图8-3 动态应力强度因子变化规律
上面提到纵波、横波、表面波，下面简单作一介绍。纵波是指振动方向与传播方向一致或平行的一类波。材料的纵波也称为膨胀波。常见的纵波有声波（Sound wave）和地震引起的P波（Primary wave）。纵波速度由式（8-5）计算：
岩石断裂与损伤
式中：为平面应变情况下的Lamé常数；为平面应力情况下的Lamé常数；为剪切模量；E为弹性模量；μ为Poisson系数；ρ为质量密度。
横波也称“凹凸波”。质点的振动方向与波的传播方向垂直，这样的波称为“横波”。在横波中波长通常是指相邻两个波峰或波谷之间的距离。固体有切变弹性，所以在固体中能传播的是横波，液体和气体没有切变弹性，因此只能传播纵波，而不能传播横波。材料的横波也称为畸变波，横波的传播速度由式（8-6）计算：
岩石断裂与损伤
表面波也称Rayleigh波，是一种沿着自由表面传播的波，地球-空气界面可以看做是自由界面。Rayleigh波是纵波与横波干涉的结果。质点运动轨迹在均匀介质中为逆时针方向，成椭圆极化。理论上说，Rayleigh波只能沿着均匀半空间自由表面和均匀介质自由界面传播。Rayleigh波速度cR由式（8-7）的最小实根求得：
岩石断裂与损伤
三、动态断裂韧度
在动载荷作用下稳定裂纹起始扩展时的临界应力强度因子称为动态断裂韧度，用Kd（σ′）表示。动态断裂韧度是反映材料动态断裂性能的常数，且与加载速率σ′有关。于是，裂纹起始扩展的动态断裂判据可表示为
岩石断裂与损伤
测定材料的Kd（σ′）时，要对试样进行冲击加载，这可由摆锤或由具有快速加载能力的试验机实现，试样可用标准的三点弯曲试件或却贝（Charpy）V形缺口冲击试件。三点弯曲试验时的加载速率一般在之间。摆锤冲击试验时加载速率可达K′Ⅰ=104～105 MPa·m1/2/s。试验时要用高速记录装置记下载荷随时间的变化曲线，找出冲击载荷的最大值并按三点弯曲试验公式计算Kd。试验表明：动态断裂韧度与变形速度或加载速率有关（图8-4），且因材料而不同。通常静态断裂韧度KⅠC在率可达K′Ⅰ=104～105 MPa·m1/2/s。试验时要用高速记录装置记下载荷随时间的变化曲线，找出冲击载荷的最大值并按三点弯曲试验公式计算Kd。试验表明：动态断裂韧度与变形速度或加载速率有关（图8-4），且因材料而不同。通常静态断裂韧度KⅠC在率可达K′Ⅰ=104～105 MPa·m1/2/s。试验时要用高速记录装置记下载荷随时间的变化曲线，找出冲击载荷的最大值并按三点弯曲试验公式计算Kd。试验表明：动态断裂韧度与变形速度或加载速率有关（图8-4），且因材料而不同。通常静态断裂韧度KⅠC在下测量（低速加载、准静态加载），当值增高时，断裂韧度呈下降趋势，这时的韧性值已不再是KⅠC了，而过渡到KⅠd。一般把断裂韧性随变化的最低点的值取为KⅠd。当m1/2/s时为高速加载，随着加载速率增高，变形所产生的热量来不及扩散，造成局部温度升高，提高了材料的抗断裂性能，因而Kd增高。现阶段动态断裂韧性测量主要在中速加载速率，此时惯性效应必须考虑。
图8-4 动态断裂韧度-加载速率
