求两平面之间的最短距离!

发布网友发布时间：2022-05-12 17:40

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热心网友时间：2023-07-22 16:19

解：

当抛物面z=x^2+y^2上某点G处的切平面和平面x+y-z=1平行时，二者间的距离最短，最短距离为切平面和平面x+y-z=1之间的距离，也即是G到平面x+y-z=1的距离。

抛物面z=x^2+y^2上G处的法向量为(2x,2y,-1),平面x+y-z=1的法向量为(1,1,-1),前述的两个平面平行，等价与这两个平面的法向量平行，即有：
2x/1=2y/1=-1/(-1)，得x=1/2,y=1/2，进而得到z=x^2+y^2=1/2,

即得G坐标(1/2,1/2,1/2).

G到平面x+y-z=1的距离为：sqrt(3)/6.

上一步是套用公式：点（x0,y0,z0）,到直线AX+BY+CZ-D=0的距离为：
(A*x0+B*y0+C*z0-D)的绝对值除以根号下（A^2+B^2+C^2）,
前文中的sqrt表示开方

方法二：

设抛物面上一点G为(x,y,x^2+y^2),
G到平面x+y-z=1的距离为：
abs[x^2+y^2-x-y+1]/sqrt(3)
=[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+1/2]/sqrt(3)
大于等于（1/2）/sqrt(3)=sqrt(3)/6

其中等号成立条件为x=1/2,y=1/2,
abs表示绝对值，

将x,y,代回，可求得G坐标(1/2,1/2,1/2).

方法三：拉格朗日乘数法

设抛物面上一点A(x1,y1,z1)
平面上一点B(x2,y2,z2)

AB距离S的平方为：
F1=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2

构造函数：
F=F1+p*(x1^2+y1^2-z1)+q*(x2+y2-z2-1)，（1）
同时注意到
x1^2+y1^2-z1=0（2）
x2+y2-z2-1=0（3）

（1）式分别对x1,y1,z1,x2,y2,z2求偏导，结果均为0，这样得到6个方程，再联立方程（2）（3），就有8个方程，解8个未知数：x1,y1,z1,x2,y2,z2，p,q.即可。

说明：解你这道题，从高中到大学又重上了一遍，呵呵