二重积分的计算区域为圆环时怎么算

发布网友 发布时间：2022-05-14 12:24

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热心网友 时间：2023-10-16 21:53

对于积分区域为圆或者圆环，我们都可以用极坐标求解，二者的区别在于积分上下限的不同，如果积分区域是圆的话，r的下限为0，如果积分区域为圆环的话，r的下限就是小的圆。

比如，积分区域是1<=x^2+y^2<=4，那么，r的范围就是1到2，只要充分理解极坐标计算二重积分的含义，对于这种积分区域是圆环的二重积分应该不难。

只要积分区域中每一点都满足某个表达式，这个表达式就可以先代入被积函数。由于曲面上每一点都满足曲面表达式，所以曲面积分可以将曲面表达式代入被积函数。曲线积分同理可行。二重积分、三重积分却不行，因为只有积分边界上才满足某个表达式，内部区域并不满足等式。

这个积分是在曲面Σ0上进行的，而Σ0满足：z=0，从而dz=0，将z=0、dz=0代入可得被积函数等于0，因此Σ0上的积分等于0。

扩展资料：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

参考资料来源：百度百科-二重积分

热心网友 时间：2023-10-16 21:53

对于积分区域为圆或者圆环，我们都可以用极坐标求解，二者的区别在于积分上下限的不同，如果积分区域是圆的话，r的下限为0，如果积分区域为圆环的话，r的下限就是小的圆。

比如，积分区域是1<=x^2+y^2<=4，那么，r的范围就是1到2。

扩展资料：

二重积分的计算方法：

1、二重积分的性质

（1）被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面。

（2）函数和（或差）的二重积分等于各个函数二重积分的和（或差）。

（3）如果在D上，f(x,y)=A，A是常数，则σ为D的面积。

（4）如果闭区域D被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和，例如D被分为两个闭区域D1和D2。

（5）如果在D上，则有不等式 。

（6）设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积。

（7）二重积分中值定理：设函数f(x,y)在区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点，使得下式成立：

2、在直角坐标系下计算二重积分

对于区域D，其实只要围着它积分就好了，很容易，不用死记X型和Y型。

3、对称性：（挺重要的一个概念）

设函数f(x,y)是平面区域D上的二元函数，又

（1）如果区域D关于x轴对称，且对任意  ，称f(x,y)在D上关于y偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于  （奇函数时为0），其中D1是D在上半平面部分。

（2）如果区域D关于y轴对称，且对任意  ，称f(x,y)在D上关于x偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于  （奇函数时为0），其中D2是D在右半平面部分。

（3）如果区域D关于原点对称，且对任意  ，称f(x,y)在D上同时关于x和y为偶函数（奇函数）。此时整个区域积分等于  （奇函数时为0），其中D3是D在上半平面部分。

4、极坐标系下计算二重积分

（1）极坐标和直角坐标之间的关系：x=rcos θ；y=rsin θ。

（2）二重积分当变量从直角坐标变到极坐标时，计算公式： 

（3）极点位置的三个情况：

①当极点在积分区域D的外部，如果D={  }、如果函数  在区域[α，β]上连续，则积分 

②当极点在积分区域D的内部，如果D={  }、如果函数φ(θ)在区域[0，2π]上连续，则积分

③当极点在积分区域D的边界上，如果D={  }、如果函数φ(θ)在区域[α，β]上连续，则积分。

（理解：里面积分的，其实就是把某个角度的线段积分起来（所以是从最靠近极点的函数积到原离极点的函数），外面的就是把角度积起来）

5、二重积分的换元法：

设函数f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域D上连续，变换T：  ，将uOv上的平面上的闭区域D'变为xOy平面上的闭区域D，且满足。

（1）在D'上具有一阶连续偏导数

（2）在D'上雅克比行列式：

（3）变换T：D'→D是一一对应的。

热心网友 时间：2023-10-16 21:54