已知二面角α-AB-β为120°,AC?α,BD?β,且AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC=BD=a,则CD的长为______
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发布时间:2022-05-14 17:05
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时间:2023-10-15 04:08
解:由题意,作出如图的图象,在平面β中可过A作AB的垂线,过D作BD的垂线,两者交于E连接CE,
由作图知,四边形ABDE是矩形,故有DE=AB=a,AE=BD=a,AE⊥AB
又AC⊥AB,易得AB⊥面ACE,即有CE⊥AB,进而得CE⊥DE
有二面角的平面角的定义知,∠CAE=120°
在△CAE中,由余弦定义可得CE
2=a
2+a
2-2×a
2×(-
)=3a
2,故CE=
a
在直角三角形CED中,由勾股定理得CD
2=DE
2+CE
2=a
2+3a
2=4a
2,
可得CD的长为2a
故答案为:2a.