高中数学题(立体几何)

发布网友发布时间：2022-05-14 15:59

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热心网友时间：2023-10-23 15:05

如图，三对同色棱长相等，∴四个面全等（三个边都是红蓝绿），

设一个面积为a.则四个面面积全是a.

D是S在ABC的垂足，则S⊿ABC＝S⊿ADB+S⊿BDC+S⊿CDA

而S⊿ADB＝⊿ASBcosα,S⊿BDC＝S⊿BSCcosβ,S⊿CDA＝S⊿CSAcosγ.

∴a＝S⊿ABC＝⊿ASBcosα+S⊿BSCcosβ+S⊿CSAcosγ＝a（cosα+cosβ+cosγ）。

cosα+cosβ+cosγ＝1

热心网友时间：2023-10-23 15:05

这道题，涉及一个思路，该思路特别狭窄，这道题出得不是很好：
一个面在另一个面的射影的面积，除以该面的面积 = 两个面夹角的余弦值；
假设S在面ABC内的射影为O，根据上面的原理有：
侧面与底面所成角的余弦值分别为：
S△OAB/S△SAB, S△OBC/S△SBC, S△OAC/S△SAC
cosα+cosβ+cosγ=
（S△OAB/S△SAB）+（S△OBC/S△SBC）+（ S△OAC/S△SAC）。。。。1
∵SA=BC,SB=AC,SC=AB
根据三边相等，三角形全等，得出：
S△SAB=S△SBC=S△SAC=S△ABC。。。。。。。。2
且：S△OAB+S△OBC+S△OAC=S△ABC。。。。。。3
将2,3式代入1式即得：cosα+cosβ+cosγ=1

这道题出得有点偏了，高中一般情况下不考射影来求二面角吧，另外试题有点漏洞，就是α，β，γ都必须是锐角，不然S在面ABC的射影落到△ABC外边，结果就不是这样子的了。

热心网友时间：2023-10-23 15:05

用特殊法，把其看做正四面体。
做s点在平面ABC的射影记为M。
取BC中点N，连接AN。
由正面体性质可知AM/AN＝2/3。
设四面体棱长为2，则MN＝根号3比3，SN＝根号3。cos角SNM＝1/3，
同理可证，其他cos值为1/3，故他们的和为1。

热心网友时间：2023-10-23 15:06

自己不会做么开网上找帮忙俺们很多人把高中的知识都还给老师了忘光了