幂级数的幂级数

发布网友发布时间：2022-05-15 17:43

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幂级数的有关概念
定义6 具有下列形式的函数项级数
（1）称为幂级数。特别地，在中令即上述形式化为
（2）称为的幂级数。
取为常数项级数，如收敛，其和为
取为常数项级数，如收敛，其和为
取为和函数项级数，总收敛，其和为
对幂级数主要讨论两个问题：
（1）幂级数的收敛域（2）将函数表示成幂级数。
幂级数的收敛域具有特别的结构
定理1：（i）如在收敛，则对于满足的一切，都绝对收敛；
（ii）如在发散，则对于满足的一切，发散。
证：（1）∵ 收敛
∴ （收敛数列必有界）
而为几何级数，当即收
∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛
（2）反证：如存在一点使收
则由（1）收，矛盾。
由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使收敛；发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。
幂级数的收敛域及其求法
定理2：如幂级数系数满足，
则（1收敛区间为（-R，R）；（2）收敛区间为（－∞，+∞）；
（3）幂级数仅在一点x=0处收敛。
注意：当时，的敛散性不能确定，要讨论的敛散性，从而求得收敛域。
例1：求下列幂级数的收敛域。
（1）（2）（3）
解：（1），故，
当时，原级数为为交错级数，满足
¬ ， ∴ 收敛；
当时，原级数为发散，
∴ 收敛域为
解（2）由于 ∴ 故收敛域为。
解（3）
令 ∴ 。
当时，
原级数为
∴ 发散；
同理时，级数也发散，
∴收敛域
幂级数的性质
定理
求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：